Pembahasan Soal 4 Lapangan Galois

Soal

Diberikan lapangan hingga dengan banyak anggota 8 yang dikontruksikan dari irreducible polynomial $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ atas $GF(2)$ :

Buktikan bahwa $f(x)$ irreducible pada $GF(2)[x]$
Jika $\alpha$ merupakan akar dari $f(X)$ , cari elemen-elemen lapangan polinomialnya
Konstruksikan tabel Zech’s log untuk lapangan tersebut

Pembahasan

Diberikan $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ atas $GF_{2}$
\begin{enumerate}[(a)]
\item \textbf{Cara 1}: Andaikan $f(x)$ reducible atas $GF_{2}[x]$ , artinya terdapat $x^2+ax+b, x+c \in GF_{2}[x]$ yang memenuhi

$\begin{align*} f(x) &= (x^2 + ax + b)(x + c) \\ &= x^3 + (a + c)x^2 + (ac + b)x + bc \\ & = x^3 + x^2 + 1 \end{align*}$

Akibatnya, diperoleh persamaan-persamaan berikut

$\begin{align*} a+c=1\:& \ldots(1) \\ ac+b=0\:& \ldots(2) \\ bc = 1\:& \ldots(3) \end{align*}$

Diperhatikan bahwa dari persamaan $(3)$ yaitu $bc = 1$ , diperoleh $b = c = 1$ . Selanjutnya, $b=c=1$ disubstitusikan ke persamaan $(1)$ , diperoleh

$\begin{alignat*}{2} \qquad& a + c&= 1 \\ \iff& a + 1 &= 1\\ \iff& a=0 \end{alignat*} Kemudian substitusikan $a=0$ dan $b=c=1$ ke persamaan $(2)$, diperoleh \begin{align*} ac + b &= 0\cdot1 + 1\\ &=1 \\ & \ne 0 \end{align*}$

Oleh karena $ac + b = 1 \ne 0$ , maka terjadi kontradiksi. Pengandaian diingkar, jadi $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ irreducible pada $GF_{2}[x]$ .

Cara 2:
Oleh karena $f(0)=1$ dan $f(1)=1$ , diperoleh bahwa tidak ada $x+c \in GF_2[x]$ yang membagi habis $f(x)$ . Jadi, $f(x)$ irreducible pada $GF_2[x]$ .

\item Dimisalkan $\alpha$ merupakan akar dari $f(x)$ . Artinya

$f(\alpha)=\alpha^3+\alpha^2+1=0 \iff \alpha^3=-\alpha^2-1=\alpha^2+1.$

Diperhatikan bahwa

$\begin{align*} GF_{2^3} &= GF_2[x] /\langle x^3 + x^2 + 1 \rangle \\ &=\{0,1,x,x^2,x+1,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1\}. \end{align*}$

Di sisi lain,

$\begin{align*} \alpha^0&=1, \quad \alpha^1=\alpha, \quad \alpha^2=\alpha^2\\ \alpha^3 &=\alpha^2+1,\\ \alpha^4&=\alpha^3+\alpha=\alpha^2+\alpha+1,\\ \alpha^5 &= \alpha^3+ \alpha^2 + \alpha = \alpha^2+1+\alpha^2+\alpha=\alpha+1,\\ \alpha^6&=\alpha^2+\alpha,\\ \alpha^7&=\alpha^3+\alpha^2=\alpha^2+\alpha^2+1=1. \end{align*}$

Dalam hal ini, elemen-elemen lapangan polinomial $GF_{2^3}$ dapat dipandang sebagai

$\begin{align*} \{0,\alpha^0=1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^5,\alpha^6\}. \end{align*}$

\item Berdasarkan poin (b), didapat $\alpha$ merupakan elemen primitif dari $GF_{2^3}$ . Zech’logaritma $z(i)$ memenuhi $\alpha^{z(i)}=1+\alpha^i$ . Diperhatikan bahwa

$\begin{align*} 1+\alpha^{\infty}&=1=\alpha^0\\ 1+\alpha^0 &= 1+1=0= \alpha^{\infty}\\ 1+\alpha^1&=1+\alpha=\alpha^5\\ 1+\alpha^2 &= \alpha^3\\ 1 + \alpha^3 &= 1+ \alpha^2+1=\alpha^2\\ 1 + \alpha^4 &= 1+ \alpha^2+ \alpha +1=\alpha^2+\alpha=\alpha^6\\ 1 + \alpha^5 &= 1+ \alpha +1=\alpha^1\\ 1 + \alpha^6 &= 1 + \alpha^2 +\alpha= \alpha^4\\ \end{align*}$

Dapat terbentuk Tabel Zech’s Log berikut

\begin{tabular}{|c|c|}\hline
i & z(i) \\ \hline
$\infty$ & 0 \\
0 & $\infty$ \\
1 & 5 \\
2 & 3 \\
3 & 2 \\
4 & 6 \\
5 & 1 \\
6 & 4 \\ \hline
\end{tabular}

Video Penjelasan:

Leave A Comment Batalkan balasan

Artikel Terbaru

Komentar