[latexpage]
Soal
Diberikan lapangan hingga dengan banyak anggota 8 yang dikontruksikan dari irreducible polynomial $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ atas $GF(2)$:
- Buktikan bahwa $f(x)$ irreducible pada $GF(2)[x]$
- Jika $\alpha$ merupakan akar dari $f(X)$, cari elemen-elemen lapangan polinomialnya
- Konstruksikan tabel Zech’s log untuk lapangan tersebut
Pembahasan
Diberikan $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ atas $GF_{2}$
\begin{enumerate}[(a)]
\item \textbf{Cara 1}: Andaikan $f(x)$ reducible atas $GF_{2}[x]$, artinya terdapat $x^2+ax+b, x+c \in GF_{2}[x]$ yang memenuhi
\begin{align*}
f(x) &= (x^2 + ax + b)(x + c) \\
&= x^3 + (a + c)x^2 + (ac + b)x + bc \\
& = x^3 + x^2 + 1
\end{align*}
Akibatnya, diperoleh persamaan-persamaan berikut
\begin{align*}
a+c=1\:& \ldots(1) \\
ac+b=0\:& \ldots(2) \\
bc = 1\:& \ldots(3)
\end{align*}
Diperhatikan bahwa dari persamaan $(3)$ yaitu $bc = 1$, diperoleh $b = c = 1$. Selanjutnya, $b=c=1$ disubstitusikan ke persamaan $(1)$, diperoleh
\begin{alignat*}{2}
\qquad&
a + c&= 1 \\
\iff& a + 1 &= 1\\
\iff& a=0
\end{alignat*}
Kemudian substitusikan $a=0$ dan $b=c=1$ ke persamaan $(2)$, diperoleh
\begin{align*}
ac + b &= 0\cdot1 + 1\\
&=1 \\
& \ne 0
\end{align*}
Oleh karena $ac + b = 1 \ne 0$, maka terjadi kontradiksi. Pengandaian diingkar, jadi $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ irreducible pada $GF_{2}[x]$.
Cara 2:
Oleh karena $f(0)=1$ dan $f(1)=1$, diperoleh bahwa tidak ada $x+c \in GF_2[x]$ yang membagi habis $f(x)$. Jadi, $f(x)$ irreducible pada $GF_2[x]$.
\item Dimisalkan $\alpha$ merupakan akar dari $f(x)$. Artinya $$f(\alpha)=\alpha^3+\alpha^2+1=0 \iff \alpha^3=-\alpha^2-1=\alpha^2+1.$$ Diperhatikan bahwa
\begin{align*}
GF_{2^3} &= GF_2[x] /\langle x^3 + x^2 + 1 \rangle \\
&=\{0,1,x,x^2,x+1,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1\}.
\end{align*} Di sisi lain,
\begin{align*}
\alpha^0&=1, \quad \alpha^1=\alpha, \quad \alpha^2=\alpha^2\\
\alpha^3 &=\alpha^2+1,\\
\alpha^4&=\alpha^3+\alpha=\alpha^2+\alpha+1,\\
\alpha^5 &= \alpha^3+ \alpha^2 + \alpha = \alpha^2+1+\alpha^2+\alpha=\alpha+1,\\
\alpha^6&=\alpha^2+\alpha,\\
\alpha^7&=\alpha^3+\alpha^2=\alpha^2+\alpha^2+1=1.
\end{align*}
Dalam hal ini, elemen-elemen lapangan polinomial $GF_{2^3}$ dapat dipandang sebagai
\begin{align*}
\{0,\alpha^0=1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^5,\alpha^6\}.
\end{align*}
\item Berdasarkan poin (b), didapat $\alpha$ merupakan elemen primitif dari $GF_{2^3}$. Zech’logaritma $z(i)$ memenuhi $\alpha^{z(i)}=1+\alpha^i$. Diperhatikan bahwa
\begin{align*}
1+\alpha^{\infty}&=1=\alpha^0\\
1+\alpha^0 &= 1+1=0= \alpha^{\infty}\\
1+\alpha^1&=1+\alpha=\alpha^5\\
1+\alpha^2 &= \alpha^3\\
1 + \alpha^3 &= 1+ \alpha^2+1=\alpha^2\\
1 + \alpha^4 &= 1+ \alpha^2+ \alpha +1=\alpha^2+\alpha=\alpha^6\\
1 + \alpha^5 &= 1+ \alpha +1=\alpha^1\\
1 + \alpha^6 &= 1 + \alpha^2 +\alpha= \alpha^4\\
\end{align*}
Dapat terbentuk Tabel Zech’s Log berikut
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
i & z(i) \\ \hline
$\infty$ & 0 \\
0 & $\infty$ \\
1 & 5 \\
2 & 3 \\
3 & 2 \\
4 & 6 \\
5 & 1 \\
6 & 4 \\ \hline
\end{tabular}
Video Penjelasan:
[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]