Pembahasan Soal 2 Induksi Matematika

Soal:

Diberikan $x \in \mathbb{R},$ dengan $x>1$ dan $x\neq 0$ . Dengan induksi matematika, buktikkan bahwa untuk setiap $n\in\mathbb{N}, n\geq 2$ , berlaku

$(1+x)^n > 1+ nx.$

Pembahasan:

Pertama-tama akan ditunjukkan untuk $n=2$ adalah benar.

Perhatikan bahwa

$\displaystyle\ (1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x, \text{ untuk } \ x>1.$

Jadi, untuk $n=2$ , terbukti benar bahwa $(1+x)^n > 1+nx$ .

Diasumsikan untuk $n=k$ benar, maka
$(1+x)^k > 1+kx$
Akan ditunjukkan jika $n=k$ benar, maka $n=k+1$ juga benar. Maka berlaku
$\begin{align*} (1+x)^{k+1} & = (1+x)^k (1+x) \\ & > (1+kx)(1+x) & \text{ karena } \ (1+x)^k > (1+kx) \\ & = 1+kx+x+kx^2 \\ & = 1+(k+1)x+kx^2 \\ & > 1+(k+1)x \end{align*}$

Akibatnya, jika $n=k$ benar, maka $n=k+1$ juga benar. Dengan demikian, jika $n=2,n=k,n=k+1$ benar, maka langkah induksi matematika terhenti.

Terbukti bahwa

$(1+x)^n > 1+ nx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq 2 .$

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment Batalkan balasan

Artikel Terbaru

Komentar