[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=ExqdpPi2K8E[/embedyt]
[latexpage]
Soal:
Diberikan $x \in \mathbb{R},$ dengan $x>1$ dan $x\neq 0$. Dengan induksi matematika, buktikkan bahwa untuk setiap $ n\in\mathbb{N}, n\geq 2$, berlaku
$$(1+x)^n > 1+ nx.$$
Pembahasan:
- Pertama-tama akan ditunjukkan untuk $n=2$ adalah benar.
Perhatikan bahwa
$$\displaystyle\ (1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x, \text{ untuk } \ x>1. $$
Jadi, untuk $n=2$, terbukti benar bahwa $ (1+x)^n > 1+nx$.
- Diasumsikan untuk $n=k$ benar, maka $$(1+x)^k > 1+kx$$
- Akan ditunjukkan jika $n=k$ benar, maka $n=k+1$ juga benar. Maka berlaku
\begin{align*}
(1+x)^{k+1} & = (1+x)^k (1+x) \\
& > (1+kx)(1+x) & \text{ karena } \ (1+x)^k > (1+kx) \\
& = 1+kx+x+kx^2 \\
& = 1+(k+1)x+kx^2 \\
& > 1+(k+1)x
\end{align*}
Akibatnya, jika $n=k$ benar, maka $n=k+1$ juga benar. Dengan demikian, jika $n=2,n=k,n=k+1$ benar, maka langkah induksi matematika terhenti.
Terbukti bahwa
$$(1+x)^n > 1+ nx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq 2 .$$
Credit: Fadhlan Zhaahiran