[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]
[latexpage]
Pertama-tama dibahas beberapa definisi di latis sebagai dasar dari pendefinisian Aljabar Boole. Diberikan latis $(L;\leq)$ dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1 dan $a\in L$. Elemen $b\in L$ disebut komplemen $a$ jika
$$a\vee b=1$$ dan
$$a\wedge b=0.$$ Latis dengan elemen 0 dan 1 disebut latis complemented jika setiap elemennya mempunyai komplemen. Latis $(L;\wedge,\vee)$ disebut latis distributif jika $$x\wedge (y\vee z )= (x\wedge y)\vee(x\wedge z)$$ dan $$x\vee (y\wedge z )= (x\vee y)\wedge(x\vee z)$$
untuk setiap $x,y,z\in L$. Latis dengan elemen 0 dan 1 disebut Latis Boole (Boolean lattice) jika latis tersebut complemented dan distributif.
Diberikan Latis Boole $(L;\leq)$. Jika pada $L$ didefinisikan operasi uner $\bar{}$ dengan $\bar{x}:={\rm komplemen} ~ x$ untuk setiap $x\in L$ maka kita mendapatkan sistem aljabar dengan tiga operasi (2 biner dan 1 uner) $(L;\wedge,\vee,\bar{})$. Selanjutnya sistem aljabar $(L;\wedge,\vee,\bar{})$ disebut Aljabar Boole (Boolean Algebra). Sebagai contoh Aljabar Boole adalah sistem aljabar $(P(A);\cap,\cup,^c)$ merupakan Aljabar Boole yang didefinisikan dari Latis Boole $(P(A);\subseteq)$.
Selanjutnya akan dibahas beberapa sifat dari Aljabar Boole. Diberikan Aljabar Boole $(L;\wedge,\vee,\bar{})$. Untuk setiap $x,y\in L$ berlaku:
- $\overline{x\vee y}=\bar{x}\wedge \bar{y},$
- $\overline{x\wedge y}=\bar{x}\vee \bar{y}.$
Untuk sebarang latis distributif $L$ dan untuk sebarang $x,y\in L$, jika $x\wedge \bar{y}=0$, maka $x\leq y$.
Terakhir, Aljabar Boole bersifat tunggal terhadap isomorfisma. Misalkan $(A;\wedge,\vee,\bar{})$ adalah Aljabar Boole berhingga dan misalkan $S$ adalah himpunan semua atom di $A$. Maka $(A;\wedge,\vee,\bar{})$ isomorfis dengan sistem aljabar yang didefinisikan oleh aljabar Boole $(P(S);\cap,\cup,^c)$.
Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Aljabar Boole
Komentar