[latexpage]
Soal 1:
Diberikan sistem persamaan linear di $GF_{11}$ sebagai berikut.
\begin{align*}
2x_1 + 7x_2 + x_3 – 6x_4 = 0, \\
5x_1 – 10x_2 – x_3 + 3x_4 = -1, \\
x_1 – 8x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \\
9x_1 + 6x_2 – 9x_3 + x_4 = -8.
\end{align*}
Tentukan nilai dari $5x_1 – 2x_2 + 11x_3 – 5x_4$.
Soal 2:
Diberikan dua polinomial $p(x)$ dan $q(x)$ di $GF_2[x]$ yang memenuhi deg$(p(x)) < 3$, deg$(q(x)) < 2$, dan
\begin{align*}
p(x)(1 + x + x^3) + q(x)(1 + x + x^2 + x^4) = 1.
\end{align*}
Selidiki apakah $p(x)^2 + q(x)$ irredusibel di $GF_2[x]$.
Soal 3:
Diberikan lapangan hingga $F_8$ yang dikonstruksikan dari polinomial irredusibel $f(x) = 1 + x + x^3$ atas $GF_2[x]$. Diketahui bahwa $\alpha$ merupakan elemen primitif dari $F_8$. Tunjukkan bahwa $\alpha^5$ juga merupakan elemen primitif dari $F_8$.
Soal 4:
Diberikan lapangan hingga dengan banyak anggota 8 yang dikontruksikan dari irreducible polynomial $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ atas $GF(2)$:
- Buktikan bahwa $f(x)$ irreducible pada $GF(2)[x]$
- Jika $\alpha$ merupakan akar dari $f(X)$, cari elemen-elemen lapangan polinomialnya
- Konstruksikan tabel Zech’s log untuk lapangan tersebut
Soal 5:
Let $GF_{2^4}$, proof that $f(x) = x^4 + x + 1$ is the minimum function.
Komentar