Fakultas yang mengasuh Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Gadjah Mada diresmikan berdirinya pada tanggal 19 September 1955 dengan Surat Keputusan Menteri Pendidikan, Pengajaran dan Kebudayaan tanggal 15 September 1955 nomor 53759/Kab. Saat ini kampus FMIPA dijadikan satu yang berada di Sekip Utara Bulaksumur Yogyakarta. Di video ini kita akan diajak oleh salah satu mahasiswa matematika, yaitu Silvina Rosita Yulianti untuk keliling FMIPA UGM.

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=p44bx7rhtpA[/embedyt] read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diketahui $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Untuk masing-masing $i=1,2,\ldots,2021,$
$$f_{i} : A \rightarrow A $$
fungsi bijektif. Apakah benar terdapat $1\leq i<j<k\leq 2021$ yang memenuhi $f_{i}=f_{j}=f_{k}?$ Jelaskan!

Pembahasan:

Diketahui $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Untuk masing-masing $i=1,2,\ldots,2021,$
$$f_{i} : A \rightarrow A$$
fungsi bijektif.

Karena $f_{i} : A \rightarrow A$ fungsi bijektif, maka ada sebanyak $6!=720$ kemungkinan pemetaan yang berbeda dari domain ke kodomain. Andaikan terdapat $i,j,k$ sedemikian sehingga $1\leq i<j<k\leq 2021.$ Maka banyaknya fungsi pemetaan yang akan memetakan ke tempat yang sama ada sebanyak $2\times 6! + 1 = 1441.$ Dengan menggunakan prinsip sarang burung ada setidaknya $\lceil \frac{1441}{720}\rceil=3$ fungsi yang melakukan pemetaan yang sama. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan himpunan $$\displaystyle A = \Big\{a_{n}|a_{n} = \binom{2021}{n},n=0,1,2,\ldots,1010\Big\}.$$ Buktikkan bahwa ada sedikitnya $253$ anggota $A$ yang mempunyai sisa yang sama ketika dibagi $4$.

Pembahasan:

Misal $A_{i}$ adalah himpunan yang berisikan bilangan yang bersisa $i$ jika dibagi $4$, dengan $A_{i} \subseteq A,$ $\forall i = 0,1,2,3$.
Katakan $A$ sebagai kumpulan merpati dengan $|A|=1010$ dan $A_{i}$ sebagai sangkar. Maka berdasarkan prinsip sarang burung, satu sangkar paling sedikit berisi $\lceil \frac{1010}{4}\rceil = 253$ merpati. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan himpunan $A \subset \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dengan $1\in A$ dan $|A| = 5$
1. Buktikkan bahwa pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $2$;
2. Buktikkan bahwa pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $3$;
3. Selidiki apakah pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $6$. Jika tidak, berikan penyangkalnya;
4. Jika diberikan himpunan $B \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dengan $1\in B$ dan $|B| = n.$ Tentukan bilangan terkecil $n$ sehingga pasti ada dua anggota (berbeda) dari $B$ yang jumlahnya habis dibagi $6$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan himpunan $A$ yang terdiri atas $20$ bilangan yang diambil dari himpunan $S=\{1,4,7,\ldots,100\}$. Buktikkan bahwa setidaknya ada $2$ bilangan yang dipilih dari $A$ berjumlah $104$.

Pembahasan:

Dengan melihat pola dari himpunan $S$, jelas bahwa $S$ membentuk barisan $a_{n}=3n-2,\forall n \in \{1,2,3,\ldots,34\}$. Jika $a_{i}$ dan $a_{j}$ adalah dua buah bilangan yang dipilih dari $S$ yang memiliki jumlah $104$, maka diperoleh \[3i-2+3j-2=140 \iff i+j=36 .\]
Artinya, pernyataan pada soal akan ekuivalen dengan menunjukkan terdapat $20$ bilangan yang dipilih dari $\{1,2,3,\ldots,34\}$ maka ada $2$ bilangan yang jumlahnya $36$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Terdapat $51$ bilangan yang dipilih dari bilangan bulat antara $1$ dan $100$ secara inklusif. Buktikkan bahwa terdapat $2$ bilangan yang dipilih adalah berurutan.

Pembahasan:

Dari $100$ bilangan tersebut, akan dibagi menjadi $50$ partisi, yaitu $\{1, 2\}, \{3, 4\},\ldots,\{99, 100\}$ sebagai sarang merpati. Selanjutnya, dipilih $51$ bilangan sebagai merpati. Dengan menggunakan prinsip sangkar burung, maka terdapat $\lceil \frac{51}{50} \rceil =2 $ bilangan yang berurutan. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

File Tayangan

[latexpage]

Soal: 

Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan $\{1, 2,\ldots, 9\}$ dimana paling tidak terdapat satu bilangan ganjil yang berada pada urutan aslinya.

Contoh : angka $1$ diletakan pada urutan pertama, angka $2$ diletakan pada urutan kedua.

Pembahasan:

Petama-tama, dipilih satu bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{1} = 5$ cara dan permutasikan terhadap $8$ bilangan lainnya, diperoleh $8!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $5\times 8!$. Dipilih dua bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{2} = 10$ cara dan permutasikan terhadap $7$ bilangan lainnya, diperoleh $7!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $10\times7!$.
Selanjutnya, dipilih tiga bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{3} = 10$ cara dan permutasikan terhadap $6$ bilangan lainnya, diperoleh $7!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $10\times 6!$. Dipilih empat bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{4} = 5$ cara dan permutasikan terhadap $5$ bilangan lainnya, diperoleh $5!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $5\times 5!$. Dipilih lima bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{5} = 1$ cara dan permutasikan terhadap $4$ bilangan lainnya, diperoleh $4!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $1\times4!$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

File Tayangan

[latexpage]

Soal: A bakery sells chocolate, cinnamon, and plain doughnuts and at a particular time has $6$ chocolate, $6$ cinnamon, and $3$ plain. If a box contains $12$ doughnuts, how many different option are there for a box of doughnuts?

Pembahasan:

Dari informasi pada soal, didapat multiset $T=\{6\cdot x,\cdot y,3\cdot z \}$, dengan $x$ adalah coklat, $y$ adalah cinnamon, $z$ plain. Akan dicari banyaknya solusi dari \[x+y+z=12\] dengan $x\leq6,y\leq6,z\leq3 .$
Dinotasikan
\begin{align*}
\begin{cases}
A = \{x\in\mathbb{Z}|x+y+z=12,x\geq 7\} \\
B = \{ y\in\mathbb{Z}|x+y+z=12, y\geq 7\} \\
C = \{z\in\mathbb{Z}|x+y+z=12,z\geq 4\} \\
\end{cases}
\end{align*} read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

File Tayangan

[latexpage]

Soal: Tentukan banyaknya bilangan dari $1$ sampai $70$ yang relatif prima terhadap $70$.

Pembahasan:

Diketahui bahwa pembagi prima dari $70$ yaitu $2,5,$ dan $7$. Selanjutnya, di defenisikan $A$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $2$, $B$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $5$, $A$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $7$. Akan dicari banyaknya bilangan dari $1$ sampai $70$ yang relatif prima terhadap $70$ yaitu $|A^{c}\cup B^{c} C^{c}|$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

File Tayangan

[latexpage]

Soal: Tentukan banyaknya bilangan bulat dari $1$ hingga $2021$ yang tidak habis dibagi $4,6,$ dan $9.$

Pembahasan:

Dinotasikan himpunan :
\begin{align*}
\begin{cases}
A &= \{x\in\mathbb{Z}\mid 1 \leq x \leq 2021, \textit{x} \ \text{habis dibagi} \ 4 \} \\
B &= \{x\in\mathbb{Z}\mid 1 \leq x \leq 2021, \textit{x} \ \text{habis dibagi} \ 6\} \\
C &= \{x\in\mathbb{Z}\mid 1 \leq x \leq 2021, \textit{x} \ \text{habis dibagi} \ 9\}
\end{cases}
\end{align*}
Akan ditentukan banyaknya bilangan bulat antara $1$ dan $2021$ yang tidak habis dibagi $4,6$, dan $9$, yaitu $|A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c}|$.
Diperoleh,
\begin{align*}
|A| &= \lfloor\frac{2021}{4}\rfloor =505 & |B| &= \lfloor\frac{2021}{6}\rfloor = 336\\
|C| &= \lfloor\frac{2021}{9}\rfloor = 224 & |A\cap B| &= \lfloor\frac{2021}{12}\rfloor = 168 \\
|B\cap C| &= \lfloor\frac{2021}{18}\rfloor = 224 & |A\cap C| &= \lfloor\frac{2021}{36}\rfloor = 56 \\
|A\cap B \cap C| &= \lfloor\frac{2021}{36}\rfloor = 56 & |S| = 2019
\end{align*}
Dengan menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi, diperoleh
\begin{align*}
|A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c}| &= |S| – \Bigg(|A|+|B|+|C|-\Big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B \cap C|\Big)+|A\cap B \cap C|\Bigg) \\
&= 1234.
\end{align*} read more