Arsip 2021:

22 Agustus

Pembahasan Soal 5 Teorema Binomial

Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

File Tayangan

Soal: Berikan bukti kombinatorika untuk membuktikkan persamaan

    \[n^{3} = 6 \binom{n}{3} + 6 \binom{n}{2} + \binom{n}{1} .\]

Pembahasan:

Ruas kiri:

Diberikan himpunan S yang terdiri dari 3 elemen, yang dipilih dari himpunan \{1,2,\ldots,n\} maka banyaknya cara memilih tiap elemen nya adalah

    \[n\times n\times n = n^3 .\]

Ruas kanan:

Jika 3 elemen dari S yang dipilih dari himpunan \{1,2,\ldots,n\}, di mana

  • Jika semua elemen berbeda
    Banyak cara memilihnya yaitu n\times (n-1)\times(n-2).
  • Jika semua elemen adalah sama
    Banyak cara memilihnya yaitu n\times(1)\times(1) = n.
  • Jika dua dari 3 element adalah sama
    Banyak cara memilihnya yaitu \binom{3}{1} \times n\times(n-1)\times 1= 3n(n-1).
    • read more

    Pembahasan Soal 4 Teorema Binomial

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Diberikan bilangan bulat positif n, buktikkan bahwa

        \[ \binom{2n}{2} = 2 \binom{n}{2} + n^2\]

    a). dengan manipulasi aljabar,
    b). dengan argumentasi kombinatorial.

    Pembahasan:

    a. Diperoleh,

        \begin{align*} \binom{2n}{2} &= \frac{(2n)!}{2! (2n-2)!} \\ &= 2n^2 - n \\ &= n(n-1) + n^2 \\ &= 2 \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} + n^2 \\ &= 2\binom{n}{2} + n^2 \end{align*}

    b. Misalkan pada suatu kelas terdiri atas 2n mahasiswa di mana terdapat n anak laki-laki dan n anak perempuan. Ingin memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas secara acak. Maka banyak cara memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas yaitu

        \[\displaystyle\binom{2n}{n} .\]

    Diperhatikan bahwa, terdapat cara lain untuk memilih nya, yaitu: read more

    Pembahasan Soal 3 Teorema Binomial

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Diberikan n \in \mathbb{N,} buktikkan bahwa

        \[\sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) = \binom{n+2}{3} .\]

    Pembahasan:

    Dengan manipulasi aljabar, diperoleh

        \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) &=(n+1) \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ &= (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \\ &= \binom{n+2}{3} \end{align*}

    Persamaan tersebut juga dapat dibuktikan dengan argumentasi kombinatorial.
    Misalkan terdapat n+2 orang yang akan ditempatkan pada sebuah bangku yang sejajar. Banyak cara untuk memilih kombinasi 3 orang dari n+2 kapasitas bangku yaitu sebanyak \displaystyle\binom{n+2}{3}.
    Diperhatikan bahwa, terdapat cara lain untuk memilihnya. Akan dibagi menjadi beberapa kasus berdasarkan elemen tengah dari tiga buah subset. Misalkan \{a,b,c\} yang telah diurutkan sedemikian sehingga b selalu di antara a dan c. Karena b selalu di antara a dan c artinya b hanya boleh ditempatkan pada urutan ke-2 sampai urutan ke-n+1. read more

    Pembahasan Soal 2 Teorema Binomial

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Tentukan koefisien x^{12} pada ekspansi \displaystyle\left( x + y + \frac{1}{y}\right)^{20}.

    Pembahasan:

    Misalkan n merupakan bilangan asli, Maka untuk semua x_{1},x_{2},\ldots,x_{k} berlaku

        \[(x_{1}+x_{2} + \ldots + x_{m})^{n} = \sum \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \cdots k_{m}!} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{m}^{k_{m}}.\]

    Menurut teorema multinomial di atas, diperoleh koefisien x^{12} pada ekspansi \left(x + y + \frac{1}{y}\right)^{12} adalah

        \[ \displaystyle\binom{20}{12,8,4} =\binom{20}{12} \binom{12}{8} \binom{4}{4} = 125970 \times 70 \times 1 = 8817900 .\]

    Credit: Fadhlan Zhaahiran

    Pembahasan Soal 1 Teorema Binomial

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Tentukan koefisien x^2y^5 dan x^3y^4 pada ekspansi (2x+y)^7.

    Pembahasan:

    Diperhatikan pada teorema binomial berikut, untuk setiap bilangan bulat n \geq 0, berlaku

        \[(x+y)^{n} = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^{n-r} y^{r} .\]

    Menurut teorema binomial tersebut, (2x+y)^{7} dapat dinyatakan dengan:

        \[(2x+y)^7 = \sum_{r=0}^n \binom{7}{r} 2^{7-r} x^{7-r} y^{r}.\]

    Maka, didapat koefisien x^2 y^5 pada ekspansi (2x+7)^7 yaitu \displaystyle\binom{7}{5} 2^{2} =84 serta koefisien x^3 y^4 pada ekspansi (2x+7)^7 yaitu \displaystyle\binom{7}{4} 2^{3} =280.

    Credit: Fadhlan Zhaahiran

    Pembahasan Soal 4 Permutasi dan Kombinasi

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Tunjukkan bahwa jumlah r permutasi melingkar dari n objek, dengan 1\leq r\leq n, yaitu

        \[ \frac{n!}{(n-r)!r}.\]

    Pembahasan:

    Pertama-tama, jika memilih r benda dari n objek, yaitu \displaystyle\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}. Selanjutnya, apabila r benda tersebut diletakan melingkar maka banyak caranya yaitu (r-1)!. Maka menurut permutasi perkalian diperoleh banyaknya cara yaitu

        \[\binom{n}{r}(r-1)!= \frac{n!}{r!(n-r)!}(r-1)! = \frac{n!}{(n-r)!r} .\]

    Maka terbukti bahwa, jumlah r permutasi melingkar dari n objek, dengan 1\leq r\leq n, yaitu

        \[\frac{n!}{(n-r)!r} .\] read more

    Pembahasan Soal 3 Permutasi dan Kombinasi

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Tentukan banyaknya solusi bulat non negatif dari

        \[x + y + z = 12\]

    dengan kendala 0\leq x \leq 4, 0\leq y \leq 5, 0\leq z \leq 6.

    Pembahasan:

    Untuk x,y,z \geq 0, menurut Stars and Bars theorem, diperoleh banyaknya solusi, yaitu

        \[|S| =\binom{3+12-1}{12} = \binom{14}{12} = 91 .\]

    Didefinisikan

        \begin{align*} \begin{cases} A = \{x\in\mathbb{Z}|x+y+z=12,x\geq 5\} \\ B = \{ y\in\mathbb{Z}|x+y+z=12, y\geq 6\} \\ C = \{z\in\mathbb{Z}|x+y+z=12,z\geq 7\} \\ \end{cases} \end{align*}

    Untuk memperoleh himpunan 0\leq x \leq 4, 0\leq y \leq 5, 0\leq z \leq 6, yaitu irisan dari negasi ketiga himpunan tersebut. Dinotasikan

        \[|A^{c}\cap B^{c} \cap C^{c}| .\]

    Dengan Prinsip Inklusi-Eksklusi, akan ditentukan banyak solusinya dari |A^{c}\cap B^{c} \cap C^{c}|.
    Diperoleh,

        \[|A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}| = |S| - |A| - |B| - |C| + |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C | - | A \cap B \cap C|.\] read more

    Pembahasan Soal 2 Permutasi dan Kombinasi

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Tentukan banyaknya permutasi-13 dari multiset S : \{4\cdot x, 5\cdot y,6\cdot z\}

    Pembahasan:

    Karena |S| = 15, akan ditentukan banyaknya permutasi-13, yaitu

  • Dibentuk multiset \{2\cdot x,5\cdot y,6\cdot z\}, maka terdapat \displaystyle\frac{13!}{2!5!6!} = 36036 multiset.
  • Dibentuk multiset \{3\cdot x,4\cdot y,6\cdot z\}, maka terdapat \displaystyle\frac{13!}{3!4!6!} = 60060 multiset.
  • Dibentuk multiset \{3\cdot x,5\cdot y,5\cdot z\}, maka terdapat \displaystyle\frac{13!}{3!3!5!} = 72072 multiset.
  • Dibentuk multiset \{4\cdot x,3\cdot y,6\cdot z\}, maka terdapat \displaystyle\frac{13!}{4!3!6!} = 60060 multiset
  • Dibentuk multiset \{4\cdot x,4\cdot y,5\cdot z\}, maka terdapat \displaystyle\frac{13!}{4!4!5!} = 90090 multiset
  • Dibentuk multiset \{4\cdot x,5\cdot y,4\cdot z\}, maka terdapat \displaystyle\frac{13!}{4!5!5!} = 90090 multiset
    • read more

    Pembahasan Soal 1 Permutasi dan Kombinasi

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Dalam sebuah kelas terdapat 4 guru, 9 murid laki-laki, dan 7 murid perempuan. Tentukan banyaknya cara memilih kelompok yang berisi 5 orang dari kelas tersebut.

    Pembahasan:

    Jumlah orang di dalam kelas tersebut adalah 9+4+7 = 20 orang. Maka, banyaknya cara memilih 5 orang dari kelas tersebut adalah

        \begin{align*} \binom{20}{5} = \frac{20!}{5!15!} = \boxed{\textbf{15504}} \text{ cara}. \end{align*}

    Credit: Fadhlan Zhaahiran

    Pembahasan Soal 6 Induksi Matematika

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Formulasikan dan buktikan dengan induksi rumus umum dari bentuk berikut

        \begin{align*} 1^3 &= 1 \\ 2^3 &= 3 + 5 \\ 3^3 &= 7 + 9 + 11 \\ 4^3 &= 13 + 15 + 17 + 19 \end{align*}

    Pembahasan:

    Diperhatikan bahwa pada soal akan memiliki bentuk umum

        \[p(n) : n^3 = \sum_{i=1} ^n (n^2 -n-1 + 2i) .\]

    Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa p(n) di atas benar untuk setiap n.

    Untuk n=1 maka

        \[p(1) : 1^3 = 1 = 1^2 - 1 - 1 + 2\]

    sehingga p(1) benar. Asumsikan bahwa p(n) benar. Artinya berlaku

        \[p(n) : n^3 = \sum_{i=1} ^n (n^2 -n-1 + 2i) .\]

    Akan dibuktikan bahwa p(n+1) benar. Mudah dilihat bahwa

        \begin{align*} &\sum_{i=1} ^{n+1} ((n+1)^2 -(n+1) -1 + 2i) \\&= \sum_{i=1} ^{n+1} (n^2 + n -1 + 2i) \\ &= \left(\sum_{i=1} ^{n} n^2 + n -1 + 2i \right) + (n^2 + n - 1 + 2n + 2) \\ &= \left(\sum_{i=1} ^{n} n^2 - n -1 + 2i \right) + \left( \sum_{i=1} ^{n} 2n \right) + (n^2 + 3n + 1) \\ &= n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3 \end{align*}

    Terbukti benar untuk p(n+1).

    Terbukti bentuk pada soal memiliki formula umum n^3 = \sum_{i=1} ^n (n^2 -n-1 + 2i). read more