[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=4YOVzfrLwxQ[/embedyt]
[latexpage]
Soal: Diberikan $f(x)$ adalah sebuah polinomial berderajat $n$. Buktikan melalui induksi, bahwa untuk setiap $\alpha\in\mathbb{R}$, terdapat polinomial $p$ yang berlaku $p(x)=f(x+\alpha)$ juga berderajat $n$.
Pembahasan:
- Jika $n=1$, maka polinomial $f(x)=c_{0}+c_{1}x$, karena $p(x)= f(x+\alpha)$ diperoleh $p(x)=c_{0}+c_{1}(x+\alpha)=c_{0}+\alpha c_{1} + c_{1}x$. Jadi untuk $n=1$ benar bahwa polinomial $p$ juga berderajat $n$.
- Pernyataan tersebut adalah benar jika untuk semua polinomial berderajat kurang dari $n$. Didefinisikan $g(x)=\sum_{k=0}^{n-1} c_{k}x^{k},$ maka $f(x)=g(x)+c_{n}x^{n}$. Karena $g(x)$ adalah polinomial berdejarat kurang dari $n$, selanjutnya akan ditunjukkan melalui langkah induksinya. Andaikan terdapat polinomial $q$ dengan $q(x)=g(x+a)$ artinya $q$ juga merupakan polinomial berderajat kurang dari $n$ diperoleh $q(x)=\sum_{k=0}^{n-1} d_{k}x^{k}$. Sehingga
\[p(x)=f(x+a)=g(x+a)+c_{n}(x+a)^{n}=q(x)+c_{n}(x+a)^{n}.\]
Selanjutnya pandang teorema binomial berikut
\[(x+a)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} a^{n-k}\]
Diperoleh
\begin{align*}
p(x) &=\sum_{k=0}^{n-1} d_{k}x^{k}+ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} a^{n-k}\\
&= \sum_{k=0}^{n-1} \Big(d_{k}+c_{n}\binom{n}{k}\Big)x^{k} + c_{n}x^{n}
\end{align*}
Untuk $c_{n}$ yang tidak nol, dengan induksi, terbukti bahwa jika $f(x)$ adalah sebuah polinomial berderajat $n$, maka untuk setiap $\alpha\in\mathbb{R}$, terdapat sebuah polinomial $p$ yang berlaku $p(x)=f(x+\alpha)$ juga berderajat $n$.
Komentar