[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]
[latexpage]
Soal: Diberikan $n \in \mathbb{N,}$ buktikkan bahwa
$$\sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) = \binom{n+2}{3} .$$
Pembahasan:
Dengan manipulasi aljabar, diperoleh
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) &=(n+1) \sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} k^2 \\
&= (n+1) \frac{n(n+1)}{2} – \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
&= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \\
&= \binom{n+2}{3}
\end{align*}
Persamaan tersebut juga dapat dibuktikan dengan argumentasi kombinatorial.
Misalkan terdapat $n+2$ orang yang akan ditempatkan pada sebuah bangku yang sejajar. Banyak cara untuk memilih kombinasi $3$ orang dari $n+2$ kapasitas bangku yaitu sebanyak $\displaystyle\binom{n+2}{3}$.
Diperhatikan bahwa, terdapat cara lain untuk memilihnya. Akan dibagi menjadi beberapa kasus berdasarkan elemen tengah dari tiga buah subset. Misalkan $\{a,b,c\}$ yang telah diurutkan sedemikian sehingga $b$ selalu di antara $a$ dan $c$. Karena $b$ selalu di antara $a$ dan $c$ artinya $b$ hanya boleh ditempatkan pada urutan ke-$2$ sampai urutan ke-$n+1$.
- Jika $b$ duduk di urutan ke-$2$, $a$ harus diurutan ke-$1$, sedangkan $c$ hanya boleh duduk di bangku lainnya. Maka banyak cara memilihnya adalah
\[\displaystyle \binom{1}{1} \binom{n+2-1-1}{1} = 1\binom{n}{1} = n.\] - Jika $b$ duduk di urutan ke-$3$, $a$ boleh duduk pada urutan pertama atau kedua, sedangkan $c$ hanya boleh duduk di bangku lainnya. Banyak cara memilihnya adalah
\[\displaystyle\binom{2}{1}\binom{n+2-2-1}{1} = 2 \binom{n-1}{1} = 2(n-1) .\] - Jika $b$ duduk di urutan ke-$4$, $a$ boleh duduk pada urutan pertama atau kedua atau ketiga, sedangkan $c$ hanya boleh duduk di bangku lainnya. Banyak cara memilihnya adalah
\[\displaystyle\binom{3}{1}\binom{n+2-3-1}{1} = 3 \binom{n-2}{1} = 3(n-2) .\]
Perhitungan pada tiap kasus tersebut akan berlangsung secara terus-menerus sampai indeks ke-n. - Jika $b$ duduk di urutan ke-$n+1$, $c$ hanya boleh duduk pada bangku urutan ke-$n+2$, sedangkan $a$ hanya boleh duduk di bangku lainnya. Maka banyak cara memilihnya adalah
\[\displaystyle\binom{n}{1}\binom{n+2-n-1}{1} = \binom{n}{1}\binom{1}{1} = n .\]
Dengan demikian, banyaknya cara nemempatkan $\{a,b,c\}$ pada $n+2$ bangku adalah
\begin{align*}
n + 2(n-1)+3(n-2)+\cdots+n &= \sum_{k=1}^{n} \binom{k}{1} \binom{n+2-k-1}{1} \\
&= \sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) .
\end{align*}
Credit: Fadhlan Zhaahiran