Pembahasan Soal 3 Teorema Binomial

File Tayangan

Soal: Diberikan n \in \mathbb{N,} buktikkan bahwa

    \[\sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) = \binom{n+2}{3} .\]

Pembahasan:

Dengan manipulasi aljabar, diperoleh

    \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) &=(n+1) \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ &= (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \\ &= \binom{n+2}{3} \end{align*}

Persamaan tersebut juga dapat dibuktikan dengan argumentasi kombinatorial.
Misalkan terdapat n+2 orang yang akan ditempatkan pada sebuah bangku yang sejajar. Banyak cara untuk memilih kombinasi 3 orang dari n+2 kapasitas bangku yaitu sebanyak \displaystyle\binom{n+2}{3}.
Diperhatikan bahwa, terdapat cara lain untuk memilihnya. Akan dibagi menjadi beberapa kasus berdasarkan elemen tengah dari tiga buah subset. Misalkan \{a,b,c\} yang telah diurutkan sedemikian sehingga b selalu di antara a dan c. Karena b selalu di antara a dan c artinya b hanya boleh ditempatkan pada urutan ke-2 sampai urutan ke-n+1.

  • Jika b duduk di urutan ke-2, a harus diurutan ke-1, sedangkan c hanya boleh duduk di bangku lainnya. Maka banyak cara memilihnya adalah

        \[\displaystyle \binom{1}{1} \binom{n+2-1-1}{1} = 1\binom{n}{1} = n.\]

  • Jika b duduk di urutan ke-3, a boleh duduk pada urutan pertama atau kedua, sedangkan c hanya boleh duduk di bangku lainnya. Banyak cara memilihnya adalah

        \[\displaystyle\binom{2}{1}\binom{n+2-2-1}{1} = 2 \binom{n-1}{1} = 2(n-1) .\]

  • Jika b duduk di urutan ke-4, a boleh duduk pada urutan pertama atau kedua atau ketiga, sedangkan c hanya boleh duduk di bangku lainnya. Banyak cara memilihnya adalah

        \[\displaystyle\binom{3}{1}\binom{n+2-3-1}{1} = 3 \binom{n-2}{1} = 3(n-2) .\]

    Perhitungan pada tiap kasus tersebut akan berlangsung secara terus-menerus sampai indeks ke-n.

  • Jika b duduk di urutan ke-n+1, c hanya boleh duduk pada bangku urutan ke-n+2, sedangkan a hanya boleh duduk di bangku lainnya. Maka banyak cara memilihnya adalah

        \[\displaystyle\binom{n}{1}\binom{n+2-n-1}{1} = \binom{n}{1}\binom{1}{1} = n .\]

    Dengan demikian, banyaknya cara nemempatkan \{a,b,c\} pada n+2 bangku adalah

        \begin{align*} n + 2(n-1)+3(n-2)+\cdots+n &= \sum_{k=1}^{n} \binom{k}{1} \binom{n+2-k-1}{1} \\ &= \sum_{k=1}^{n} k(n+1-k) . \end{align*}

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*