Pembahasan Soal 4 Induksi Matematika

File Tayangan

Soal: Diberikan barisan (1,2,3,5,8, \ldots ) dikatakan barisan Fibonnachi di mana barisan bilangan yang dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya, yang memenuhi (a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},a_{1}=1,a_{2}=2) untuk n\geq 2. Buktikkan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap n\geq 1, berlaku

    \[a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}. \]

Pembahasan:

  • Akan dibuktikkan benar untuk n=1 dan n=2, diperoleh

        \[a_{1} = 1 = \frac{1+1}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{1} .\]

        \[a_{2} = 2 = \frac{6+2}{4} < \frac{6+2\sqrt{5}}{6} = \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{2} .\]

    Jadi, terbukti benar untuk n=1 dan n=2.

  • Diasumsikan benar untuk n=k, berlaku

        \[a_{k}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k} .\]

  • Untuk n\geq 2, diasumsikan a_{k-1}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1}. Akan dibuktikkan benar untuk a_{k+1}, diperoleh

    \begin{align*} a_{k+1} = a_{k}+a_{k-1} &< \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k} + \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\Big) \\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\Big)\\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{2}\\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k+1} \end{align*}

Jadi, terbukti benar untuk n=k+1. Dengan demikian dengan induksi terbukti bahwa untuk setiap n\geq 1, berlaku a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}.

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*