Pembahasan Soal 4 Induksi Matematika

Soal: Diberikan barisan $(1,2,3,5,8, \ldots )$ dikatakan barisan Fibonnachi di mana barisan bilangan yang dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya, yang memenuhi $(a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},a_{1}=1,a_{2}=2)$ untuk $n\geq 2$ . Buktikkan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap $n\geq 1$ , berlaku

$a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}.$

Pembahasan:

Akan dibuktikkan benar untuk $n=1$ dan $n=2$ , diperoleh
$a_{1} = 1 = \frac{1+1}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{1} .$

$a_{2} = 2 = \frac{6+2}{4} < \frac{6+2\sqrt{5}}{6} = \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{2} .$

Jadi, terbukti benar untuk $n=1$ dan $n=2.$
Diasumsikan benar untuk $n=k$ , berlaku
$a_{k}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k} .$
Untuk $n\geq 2$ , diasumsikan $a_{k-1}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1}$ . Akan dibuktikkan benar untuk $a_{k+1}$ , diperoleh

$\begin{align*} a_{k+1} = a_{k}+a_{k-1} &< \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k} + \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\Big) \\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\Big)\\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{2}\\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k+1} \end{align*}$

Jadi, terbukti benar untuk $n=k+1$ . Dengan demikian dengan induksi terbukti bahwa untuk setiap $n\geq 1$ , berlaku $a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}.$

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment Batalkan balasan

Artikel Terbaru

Komentar