[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]
[latexpage]
Soal: Diberikan bilangan bulat positif $n$, buktikkan bahwa
\[ \binom{2n}{2} = 2 \binom{n}{2} + n^2\]
a). dengan manipulasi aljabar,
b). dengan argumentasi kombinatorial.
Pembahasan:
a. Diperoleh,
\begin{align*}
\binom{2n}{2} &= \frac{(2n)!}{2! (2n-2)!} \\
&= 2n^2 – n \\
&= n(n-1) + n^2 \\
&= 2 \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} + n^2 \\
&= 2\binom{n}{2} + n^2
\end{align*}
b. Misalkan pada suatu kelas terdiri atas $2n$ mahasiswa di mana terdapat $n$ anak laki-laki dan $n$ anak perempuan. Ingin memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas secara acak. Maka banyak cara memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas yaitu \[\displaystyle\binom{2n}{n} .\]
Diperhatikan bahwa, terdapat cara lain untuk memilih nya, yaitu:
- Ketua kelas dan wakil ketua kelas dipilih dari laki-laki sehingga didapat banyak cara memilih yaitu $ \binom{n}{2}.$
- Ketua kelas dan wakil ketua kelas dipilih dari perempuan sehingga didapat banyak cara memilih yaitu $ \binom{n}{2}.$
- Ketua kelas dan wakil ketua kelas dipilih dari laki-laki atau perempuan sehingga didapat banyak cara memilih yaitu $ \binom{n}{1} \times \binom{n}{1}.$
Dengan demikian, banyaknya cara memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas yang dipilih dari $2n$ mahasiswa, yaitu
\[ \binom{2n}{2} = \binom{n}{2} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = 2 \binom{n}{2} + n^2 .\]
Credit: Fadhlan Zhaahiran