Pembahasan Soal 5 Teorema Binomial

File Tayangan

Soal: Berikan bukti kombinatorika untuk membuktikkan persamaan

    \[n^{3} = 6 \binom{n}{3} + 6 \binom{n}{2} + \binom{n}{1} .\]

Pembahasan:

Ruas kiri:

Diberikan himpunan S yang terdiri dari 3 elemen, yang dipilih dari himpunan \{1,2,\ldots,n\} maka banyaknya cara memilih tiap elemen nya adalah

    \[n\times n\times n = n^3 .\]

Ruas kanan:

Jika 3 elemen dari S yang dipilih dari himpunan \{1,2,\ldots,n\}, di mana

  • Jika semua elemen berbeda
    Banyak cara memilihnya yaitu n\times (n-1)\times(n-2).
  • Jika semua elemen adalah sama
    Banyak cara memilihnya yaitu n\times(1)\times(1) = n.
  • Jika dua dari 3 element adalah sama
    Banyak cara memilihnya yaitu \binom{3}{1} \times n\times(n-1)\times 1= 3n(n-1).

Maka, total cara memilihnya yaitu

    \begin{align*} n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n &= 6\frac{n!}{6(n-3)!} + 6 \frac{n!}{2(n-2)!}+\binom{n}{1}\\ &= 6 \binom{n}{3} + 6 \binom{n}{2} + \binom{n}{1} . \end{align*}

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*