Pembahasan Soal 6 Induksi Matematika

Tutorial
22 Agustus 2021, 08.19
Oleh: isnainiuha
0

Soal: Formulasikan dan buktikan dengan induksi rumus umum dari bentuk berikut

$\begin{align*} 1^3 &= 1 \\ 2^3 &= 3 + 5 \\ 3^3 &= 7 + 9 + 11 \\ 4^3 &= 13 + 15 + 17 + 19 \end{align*}$

Pembahasan:

Diperhatikan bahwa pada soal akan memiliki bentuk umum

$p(n) : n^3 = \sum_{i=1} ^n (n^2 -n-1 + 2i) .$

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa $p(n)$ di atas benar untuk setiap $n.$

Untuk $n=1$ maka
$p(1) : 1^3 = 1 = 1^2 - 1 - 1 + 2$

sehingga p(1) benar.
Asumsikan bahwa $p(n)$ benar. Artinya berlaku
$p(n) : n^3 = \sum_{i=1} ^n (n^2 -n-1 + 2i) .$

Akan dibuktikan bahwa $p(n+1)$ benar. Mudah dilihat bahwa

$\begin{align*} &\sum_{i=1} ^{n+1} ((n+1)^2 -(n+1) -1 + 2i) \\&= \sum_{i=1} ^{n+1} (n^2 + n -1 + 2i) \\ &= \left(\sum_{i=1} ^{n} n^2 + n -1 + 2i \right) + (n^2 + n - 1 + 2n + 2) \\ &= \left(\sum_{i=1} ^{n} n^2 - n -1 + 2i \right) + \left( \sum_{i=1} ^{n} 2n \right) + (n^2 + 3n + 1) \\ &= n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3 \end{align*}$

Terbukti benar untuk $p(n+1)$ .

Terbukti bentuk pada soal memiliki formula umum $n^3 = \sum_{i=1} ^n (n^2 -n-1 + 2i).$

Credit: Naelufa Syifna W M

Leave A Comment Batalkan balasan