Pembahasan Soal 2 Relasi Rekurensi

Soal Diambil barisan Fibonacci \{ F_{n} \} = 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots. Tentukan formula untuk F_n!

Pembahasan

Perhatikan bahwa relasi rekurensi yang dipenuhi adalah F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}. Selanjutnya dapat dicek juga persamaan polinomial yang dipenuhi adalah

    \[ x^{2} - x - 1 .\]

Jadi ketika dihitung akar-akar karakteristiknya akan menghasilkan

    \[ r_{1}, r_{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{1}{2} \pm\frac{\sqrt{5}}{2} .\]

Jadi k = 2 dengan m_{1} = 1 = m_{2}. Jika dikembalikan ke rumus umumnya menghasilkan

    \[ F_{n} = A_{1}r_{1}^{n} + A_{2}r_{2}^{n} = A_{1}\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} + A_{2}\left(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} .\]

Selanjutnya nilai awal disubstitusikan ke persamaan di atas, menghasilkan:

    \begin{eqnarray*} 0 = F(0) & = & A_{1}\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{0} + A_{2}\left(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{0}\\ 1 = F(1) & = & A_{1}\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + A_{2}\left(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \end{eqnarray*}

Diperoleh

    \[ A_{1} = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},~~~~A_{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} .\]

Jadi

    \[ F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \begin{array}{l} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \end{array} \right]~~~n = 0, 1,2, \ldots \]

 

Credit: Iwan Ernanto

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*