Pembahasan Soal 3 Relasi Rekurensi

Soal Diberikan barisan \{a_{n}\} dengan relasi rekurensi a_{n + 2} = 5a_{n+1}-4a_{n} untuk n\geq 0 dan a_{0} = 1, a_{2}=7. Tentukan formula untuk a_n.

Jawaban

Persamaan karakteristik yang dihasilkan adalah p(x) = x^{2}-5x+4. Diperoleh k = 2, m_{1} =m_{2}= 1, r_{1} = 1 dan r_{2}=4. Jadi formula untuk a_n adalah

    \[ a_{n} = A_{1}1^{n}+A_{2}4^{n} \]

Dengan mensubstitusi nilai awal akan dihasilkan

    \begin{equation*} \begin{split} 1 = a_{0} &= A_{1}+A_{2}\\ 7= a_{1}&=A_{1}+4A_{2}. \end{split} \end{equation*}

Diperoleh

    \begin{equation*} A_{1}=-1~\text{dan}~A_{2}=2. \end{equation*}

Jadi a_{n}=(-1)\cdot1^{n}+2\cdot 4^{n}=2\cdot 4^{n}-1 untuk setiap n\geq 0.

Credit: Iwan Ernanto

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*