Pembahasan Soal 5 Relasi Rekurensi

Soal Diberikan barisan \{a_{n}\} dengan relasi rekurensi a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_{n} untuk n\geq 0 dan nilai awal a_{0}=3 dan a_{1}=7. Tentukan formula untuk a_n.

Pembahasan

Persamaan karakteristik yang bersesuaian adalah p(x) = x^{2}-4x+4. Diperoleh k = 2, m_{1} = 2, r_{1} = 2 yang menghasilkan

    \[ a_{n} = (A_{0}+A_{1}n)2^{n} .\]

Dari nilai awal, ketika disubstitusi menjadi

    \begin{equation*} \begin{split} 3 = a_{0} &= A_{0}\\ 10= a_{1}&=2A_{0}+2A_{1}. \end{split} \end{equation*}

Diperoleh

    \begin{equation*} A_{0}=3~\text{dan}~A_{1}=2. \end{equation*}

Jadi a_{n}=(A_{0}+A_{1}n)2^{n}=(3+2n)2^{n}=3\cdot2^{n}+n\cdot2^{n+1} untuk setiap n\geq 0.

 

Credit: Iwan Ernanto

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*