Arsip:

2021

Pembahasan Soal 5 Induksi Matematika

Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

File Tayangan

Soal: Diberikan f(x) adalah sebuah polinomial berderajat n. Buktikan melalui induksi, bahwa untuk setiap \alpha\in\mathbb{R}, terdapat polinomial p yang berlaku p(x)=f(x+\alpha) juga berderajat n.

Pembahasan:

Jika n=1, maka polinomial f(x)=c_{0}+c_{1}x, karena p(x)= f(x+\alpha) diperoleh p(x)=c_{0}+c_{1}(x+\alpha)=c_{0}+\alpha c_{1} + c_{1}x. Jadi untuk n=1 benar bahwa polinomial p juga berderajat n. Pernyataan tersebut adalah benar jika untuk semua polinomial berderajat kurang dari n. Didefinisikan g(x)=\sum_{k=0}^{n-1} c_{k}x^{k}, maka f(x)=g(x)+c_{n}x^{n}. Karena g(x) adalah polinomial berdejarat kurang dari n, selanjutnya akan ditunjukkan melalui langkah induksinya. Andaikan terdapat polinomial q dengan q(x)=g(x+a) artinya q juga merupakan polinomial berderajat kurang dari n diperoleh q(x)=\sum_{k=0}^{n-1} d_{k}x^{k}. Sehingga

    \[p(x)=f(x+a)=g(x+a)+c_{n}(x+a)^{n}=q(x)+c_{n}(x+a)^{n}.\]

Selanjutnya pandang teorema binomial berikut

    \[(x+a)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} a^{n-k}\]

Diperoleh

    \begin{align*} p(x) &=\sum_{k=0}^{n-1} d_{k}x^{k}+ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} a^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \Big(d_{k}+c_{n}\binom{n}{k}\Big)x^{k} + c_{n}x^{n} \end{align*}

Untuk c_{n} yang tidak nol, dengan induksi, terbukti bahwa jika f(x) adalah sebuah polinomial berderajat n, maka untuk setiap \alpha\in\mathbb{R}, terdapat sebuah polinomial p yang berlaku p(x)=f(x+\alpha) juga berderajat n. read more

Pembahasan Soal 4 Induksi Matematika

Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

File Tayangan

Soal: Diberikan barisan (1,2,3,5,8, \ldots ) dikatakan barisan Fibonnachi di mana barisan bilangan yang dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya, yang memenuhi (a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},a_{1}=1,a_{2}=2) untuk n\geq 2. Buktikkan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap n\geq 1, berlaku

    \[a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}. \]

Pembahasan:

  • Akan dibuktikkan benar untuk n=1 dan n=2, diperoleh

        \[a_{1} = 1 = \frac{1+1}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{1} .\]

        \[a_{2} = 2 = \frac{6+2}{4} < \frac{6+2\sqrt{5}}{6} = \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{2} .\]

    Jadi, terbukti benar untuk n=1 dan n=2.

  • Diasumsikan benar untuk n=k, berlaku

        \[a_{k}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k} .\]

  • Untuk n\geq 2, diasumsikan a_{k-1}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1}. Akan dibuktikkan benar untuk a_{k+1}, diperoleh

    \begin{align*} a_{k+1} = a_{k}+a_{k-1} &< \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k} + \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\Big) \\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\Big)\\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k-1} \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{2}\\ &= \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{k+1} \end{align*}

Jadi, terbukti benar untuk n=k+1. Dengan demikian dengan induksi terbukti bahwa untuk setiap n\geq 1, berlaku a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}. read more

Pembahasan Soal 3 Induksi Matematika

Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

File Tayangan

Soal: Buktikan dengan induksi bahwa untuk setiap n \in \mathbb{Z^{+}}, 3\mid 5^{n}+ 2\times 11^{n}.

Pembahasan:

Dinotasikan S(n)=5^{n}+ 2 \times 11^{n}.

Pertama-tama akan ditunjukkan (S(1)) benar. Diperhatikan bahwa

    \[5^{1}+2\times11^{1}=5+22=27=3^{3} .\]

Jadi, pernyataan (S(1)) benar.

  • Diasumsikan (S(k)) benar. Diperoleh \exists a \in \mathbb{Z}, sedemikian sehingga

        \[5^{k}+2\times11^{k}=3a .\]

    Akan ditunjukkan jika (S(k)) benar, maka (S(k+1)) juga benar. Diperhatikan bahwa

        \begin{align*} 5^{k+1}+2\times11^{k+1} &= 5 \times 5^{k}+ 22 \times11^{k} \\ &= 5\times5^{k} + 10\times11^{k} + 6\times11^{k} \\ &= 5 ( 5^{k} + 2\times 11^{k}) + 6\times11^{k} \\ &= 5 \times(3a) + 3 \times 2 \times 11^{k} && \text{Karena}\ 5^{k}+2\times11^{k}=3a \\ &= 3 (5a+ 2\times11^{k}) \end{align*}

    Karena 3\mid 3 (5a+ 2\times11^{k}), maka pernyataan S(k+1) benar.

    • Dengan induksi matematika, (S(n)) terbukti benar untuk setiap n \in \mathbb{Z^{+}}.

    Credit: Fadhlan Zhaahiran

    Pembahasan Soal 1 Induksi Matematika

    Tutorial Minggu, 22 Agustus 2021

    File Tayangan

    Soal: Buktikan melalui induksi matematika, untuk setiap bilangan bulat n\geq 1 berlaku \left(n!\leq n^{n}\right).

    Pembahasan:

    • Pertama-tama akan ditunjukkan benar untuk n=1.

    Diperoleh

        \[1!=1 \leq 1^1 .\]

    Jadi, untuk n=1 terbukti benar bahwa n^{n}\leq n!.

    Diasumsikan benar untuk n=k, berlaku k!\leq k^{k}. Akan ditunjukkan jika n=k benar, maka n=k+1 benar. Diperoleh

        \begin{align*} (k+1)! &= (k+1)(k)(k-1)\cdots 3 \times 2 \times 1 \\ &= (k+1)(k!) \\ &\leq (k+1) k^{k} \\ &\leq (k+1) (k+1)^{k} \\ &= (k+1)^{k+1} \end{align*}

    Dengan induksi matematika, terbukti bahwa untuk n\geq 1 berlaku n!\leq n^{n}.

    Credit: Fadhlan Zhaahiran