Arsip 2022:

April

Pembahasan Soal 11 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

Pembahasan

Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

(1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

    \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

    \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

Pembahasan Soal 2 Barisan Fibonacci

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

Pembahasan

Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

(1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

    \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

    \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

Pembahasan Soal 8 Relasi Rekurensi

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

Pembahasan

Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more

Pembahasan Soal 10 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

Pembahasan

Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more

Pembahasan Soal 8 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of ways to select r objects of n different kinds if we must select at least one object of each kind.

Pembahasan

Karena perlu dipilih setidaknya satu objek dari setiap jenis, masing-masing dari n jenis objek menyumbang faktor (x + x^2 + x^3 + \dots) ke fungsi pembangkit G(x) untuk barisan \{ a_r \}, dengan a_r adalah banyaknya jumlah cara untuk memilih r objek dari n jenis yang berbeda jika dibutuhkan setidaknya satu objek dari setiap jenis. Oleh karena itu, G(x) = {(x + x^2 + x^3 + \dots)}^n = x^n{(1 + x + x^2 + \dots)}^n = \dfrac{x^n}{{(1 - x)}^n}. Dengan menggunakan teorema binomial yang diperluas dan contoh 2 yang memberikan rumus sederhana untuk \binom{-n}{k} = {(-1)}^rC(n + r - 1, r), diperoleh read more

Pembahasan Soal 7 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of r-combinations from a set with n elements when repetition of elements is allowed.

Pembahasan

Misalkan G(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{ a_r \}, di mana a_r sama dengan banyaknya jumlah r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen dengan pengulangan yang diperbolehkan. Yaitu, G(x) = \sum_{r = 0} ^{\infty} a_rx^r. Karena kita dapat memilih sejumlah anggota tertentu dari himpunan dengan n elemen ketika kita membentuk kombinasi-r dengan pengulangan yang diperbolehkan, masing-masing dari n elemen berkontribusi (1 + x + x^2 + x^3 + \dots) pada ekspansi perkalian untuk G(x). Setiap elemen memberikan kontribusi faktor tersebut karena dapat dipilih nol kali, satu kali, dua kali, tiga kali, dan seterusnya, ketika r-kombinasi terbentuk (dengan total r elemen yang dipilih). read more

Pembahasan Soal 6 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of k-combinations of a set with n elements. Assume that the binomial theorem has already been established.

Pembahasan

Masing-masing dari n elemen dalam himpunan menyumbangkan suku (1 + x) ke fungsi pembangkit f(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_kx^k. Di sini f(x) adalah fungsi pembangkit untuk \{ a_k \}, di mana a_k menyatakan jumlah banyaknya k-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen. Karena itu, f(x) = (1 + x)^n. Tetapi dengan teorema binomial, didapatkan f(x) = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}x^k, dengan \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}. Oleh karena itu, C(n, k), banyaknya jumlah k-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen, adalah \dfrac{n!}{k!(n - k)!}. read more

Pembahasan Soal 5 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Gunakan fungsi pembangkit untuk mencari banyaknya kombinasi token bernilai 1 dollar, 2 dollar, and 5 dollar  untuk membayar barang seharga r dollar di mesin penjual (baik memperhatikan urutan, maupun tidak memperhatikan urutan).

Pembahasan

Pertimbangkan kasus ketika urutan token yang dimasukkan tidak menjadi masalah. Di sini, yang dipedulikan hanyalah jumlah setiap token yang digunakan untuk menghasilkan total r dolar. Karena kita dapat menggunakan sejumlah token 1 dollar, sejumlah token 2 dollar, dan sejumlah token 5 dollar, jawabannya adalah koefisien x^r dalam fungsi pembangkit read more