[latexpage]
Soal
Apakah fungsi pembangkit dari barisan $1, 1, 1, 1, 1, 1$?
Pembahasan
Fungsi pembangkit dari 1, 1, 1, 1, 1, 1 adalah $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$. Sehingga dengan teorema jika $a$ dan $r$ adalah bilangan real dan $r \neq 0$, maka
\begin{equation*}
\sum_{j = 0}^{n} ar^j =
\begin{cases}
\dfrac{ar^{n + 1} – a}{r – 1} & \text{jika $r \neq 1$,}
(n + 1)a & \text{jika $r = 1$.}
\end{cases}
\end{equation*}
didapatkan $\dfrac{x^6 – 1}{x – 1} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$ dengan $x \neq 1$. Akibatnya, $G(x) = \dfrac{x^6 – 1}{x – 1}$ adalah fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1.
[Karena pangkat dari $x$ hanya pemegang tempat untuk suku-suku barisan dalam fungsi pembangkit, kita tidak perlu khawatir bahwa $G(1)$ tidak terdefinisi.].
Credit: Ramadhani Latief Firmansyah
Video Penjelasan:
[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]