Arsip:

2022

Pembahasan Soal 5 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Gunakan fungsi pembangkit untuk mencari banyaknya kombinasi token bernilai 1 dollar, 2 dollar, and 5 dollar  untuk membayar barang seharga r dollar di mesin penjual (baik memperhatikan urutan, maupun tidak memperhatikan urutan).

Pembahasan

Pertimbangkan kasus ketika urutan token yang dimasukkan tidak menjadi masalah. Di sini, yang dipedulikan hanyalah jumlah setiap token yang digunakan untuk menghasilkan total r dolar. Karena kita dapat menggunakan sejumlah token 1 dollar, sejumlah token 2 dollar, dan sejumlah token 5 dollar, jawabannya adalah koefisien x^r dalam fungsi pembangkit read more

Pembahasan Soal 4 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Berapa banyak cara delapan biskuit dapat diberikan ke 3 anak sehingga setiap anak menerima minimal 2 biskuit dan tidak lebih dari 4 biskuit?

Pembahasan

Karena setiap anak menerima setidaknya paling sedikit dua tetapi tidak lebih dari empat kue, untuk setiap anak ada faktor yang sama dengan (x^2 + x^3 + x^4) dalam fungsi pembangkit untuk barisan \{ c_n \}, di mana c_n adalah jumlah cara untuk membagikan sebanyak n buah kue. Karena ada tiga anak, maka fungsi pembangkit ini adalah {(x^2 + x^3 + x^4)}^3. Kita membutuhkan koefisien x^8 dalam hasil kali ini. Alasannya adalah bahwa suku x^8 dalam ekspansi sesuai dengan cara pemilihan tiga suku, dengan satu dari setiap faktor, yang memiliki pangkat yang ditambahkan hingga berjumlah 8. read more

Pembahasan Soal 3 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Carilah banyaknya solusi bulat dari e_1 + e_2 + e_3 = 17, dengan e_1, e_2, and e_3 bilangan bulat tak negatif yang memenuhi 2 \leq e_1 \leq 5, 3 \leq e_2 \leq 6, dan 4 \leq e_3 \leq 7.

Pembahasan

Banyaknya solusi dengan batasan-batasan yang diberikan adalah koefisien dari x^{17} dalam perluasan (x^2 + x^3 + x^4 + x^5)(x^3 + x^4 + x^5 + x^6)(x^4 + x^5 + x^6 + x^7). Hal ini terjadi karena kita memperoleh suku yang sama dengan x^{17} pada hasil kali dengan memilih suku pada jumlah pertama x^{e_1}, suku pada jumlah kedua x^{e_2}, dan suku pada jumlah ketiga x^{e_3}, di mana eksponen e_1, e_2, dan e_3 memenuhi persamaan e_1 + e_2 + e_3 = 17 dan batasan-batasan yang diberikan. Tidak sulit untuk melihat bahwa koefisien x^{17} pada hasil kali ini adalah 3. Oleh karena itu, ada tiga solusi. read more

Pembahasan Soal 2 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Apakah fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1?

Pembahasan

Fungsi pembangkit dari 1, 1, 1, 1, 1, 1 adalah 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5. Sehingga dengan teorema jika a dan r adalah bilangan real dan r \neq 0, maka

    \begin{equation*} \sum_{j = 0}^{n} ar^j = \begin{cases} \dfrac{ar^{n + 1} - a}{r - 1} & \text{jika $r \neq 1$,} (n + 1)a & \text{jika $r = 1$.} \end{cases} \end{equation*}

didapatkan \dfrac{x^6 - 1}{x - 1} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 dengan x \neq 1. Akibatnya, G(x) = \dfrac{x^6 - 1}{x - 1} adalah fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1.

[Karena pangkat dari x hanya pemegang tempat untuk suku-suku barisan dalam fungsi pembangkit, kita tidak perlu khawatir bahwa G(1) tidak terdefinisi.].

Credit: Ramadhani Latief Firmansyah read more

Virtual Tour Departemen Matematika UGM

Artikel Sabtu, 23 April 2022

Departemen Matematika FMIPA UGM didirikan pada tanggal 19 September 1955 bersamaan dengan berdirinya fakultas yang mengasuh bidang Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan SK Menteri Pendidikan, Pengajaran dan Kebudayaan No.53759/Kab, tanggal 15 September 1955. Dalam surat keputusan itu disebutkan bahwa fakultas tersebut masih merupakan gabungan dengan Fakultas Teknik sehingga diberi nama Persatuan Fakultas Ilmu Pasti dan Alam dan Fakultas Teknik. Pada saat itu, Fakultas Ilmu Pasti dan Alam baru mempunyai satu bagian yaitu Bagian Ilmu Pasti. Sejak tanggal 1 September 1956, Fakultas Ilmu Pasti dan Alam (disingkat FIPA) mulai memisahkan diri dari Fakultas Teknik. read more