Pembahasan Soal 7 Induksi Matematika

Tutorial
15 April 2023, 21.13
Oleh: isnainiuha
0

Soal: Buktikan $4 \times 2^n | a^{2^n}-1$ , untuk setiap a bilangan ganjil dan $n \in \mathbb{N}$ .

Pembahasan:

Karena $a$ bilangan ganjil, maka $a$ dapat dinyatakan $2p-1$ , $\forall p \in \mathbb{N}$ . Maka Soal dapat ditulis menjadi $2^{n+2} | (2p-1)^{2^n}-1$ .

Pertama-tama akan ditunjukkan $(2p-1)^{2^k}+1$ adalah bilangan genap.
Bukti : $\forall k \in \mathbb{N}$ , $2^k$ selalu genap sehingga $\forall p \in \mathbb{N}$ $(2p-1)^{2^k}$ Selalu ganjil. Jadi dapat disimpulkan $(2p-1)^{2^k}+1$ bilangan genap, dinyatakan dalam $2y$ .

Selanjutnya permasalahan utama akan dibuktikan benar dengan metode induksi.

Bukti :

Akan dibuktikan benar untuk $n=1$ .
$2^{1+2} | (2p-1)^{2^1}-1 \Leftrightarrow 2^{3} | 4p^2 - 4p$ \Leftrightarrow 2^{3} | 4p(p - 1).$

Terbukti, sebab $p \in \mathbb{N}$ maka $p(p-1)\ge 0$ dan genap.
Asumsikan benar untuk $n=k$ . Jadi
$2^{k+2} | (2p-1)^{2^k}-1.$

Selanjutnya nyatakan sebagai

$(2^{k+2} \times z) .$
Akan dibuktikan benar juga untuk $n=k+1$ .
(1) $\begin{align*} $2^{k+1+2} | (2p-1)^{2^k+1}-1 &\Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | (2p-1)^{2^k \cdot 2^1}-1 \\ & \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | ((2p-1)^{2^k}+1) ((2p-1)^{2^k}-1) \\ & \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | ((2p-1)^{2^k}+1) \cdot 2^{k+2} \cdot z . \end{align*}$

Perhatikan bahwa $(2p-1)^{2^k}+1$ dapat dinyatakan dalam $2y.$ Diperoleh

$2^{k+2} \cdot 2 | 2y \cdot 2^{k+2} \cdot z \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | 2^{k+2} \cdot 2 \cdot yz$

(Terbukti).

Credit: Slamet Ramadhan

Leave A Comment Batalkan balasan