[latexpage]
Soal: Buktikan $4 \times 2^n | a^{2^n}-1$, untuk setiap a bilangan ganjil dan $n \in \mathbb{N}$.
Pembahasan:
Karena $a$ bilangan ganjil, maka $a$ dapat dinyatakan $2p-1$, $\forall p \in \mathbb{N}$. Maka Soal dapat ditulis menjadi $2^{n+2} | (2p-1)^{2^n}-1$.
Pertama-tama akan ditunjukkan $(2p-1)^{2^k}+1$ adalah bilangan genap.
Bukti : $\forall k \in \mathbb{N}$, $2^k$ selalu genap sehingga $\forall p \in \mathbb{N}$ $(2p-1)^{2^k}$ Selalu ganjil. Jadi dapat disimpulkan $(2p-1)^{2^k}+1$ bilangan genap, dinyatakan dalam $2y$.
Selanjutnya permasalahan utama akan dibuktikan benar dengan metode induksi.
Bukti :
- Akan dibuktikan benar untuk $n=1$.
$$2^{1+2} | (2p-1)^{2^1}-1 \Leftrightarrow 2^{3} | 4p^2 – 4p$ \Leftrightarrow 2^{3} | 4p(p – 1).$$
Terbukti, sebab $p \in \mathbb{N}$ maka $p(p-1)\ge 0$ dan genap. - Asumsikan benar untuk $n=k$. Jadi
$$2^{k+2} | (2p-1)^{2^k}-1.$$ Selanjutnya nyatakan sebagai $$(2^{k+2} \times z) . $$ - Akan dibuktikan benar juga untuk $n=k+1$. \begin{align} $2^{k+1+2} | (2p-1)^{2^k+1}-1 &\Leftrightarrow
2^{k+2} \cdot 2 | (2p-1)^{2^k \cdot 2^1}-1 \\
& \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | ((2p-1)^{2^k}+1) ((2p-1)^{2^k}-1) \\
& \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | ((2p-1)^{2^k}+1) \cdot 2^{k+2} \cdot z .
\end{align}
Perhatikan bahwa $(2p-1)^{2^k}+1$ dapat dinyatakan dalam $2y.$ Diperoleh
$$2^{k+2} \cdot 2 | 2y \cdot 2^{k+2} \cdot z \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | 2^{k+2} \cdot 2 \cdot yz$$ (Terbukti).
Credit: Slamet Ramadhan