Pembahasan Soal 1 Lapangan Galois

Soal Diberikan sistem persamaan linear di $GF_{11}$ sebagai berikut.

$\begin{align*} 2x_1 + 7x_2 + x_3 - 6x_4 = 0, \\ 5x_1 - 10x_2 - x_3 + 3x_4 = -1, \\ x_1 - 8x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \\ 9x_1 + 6x_2 - 9x_3 + x_4 = -8. \end{align*}$

Tentukan nilai dari $5x_1 - 2x_2 + 11x_3 - 5x_4$ .

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan linear di $GF_{11}$ sebagai berikut.

$\begin{align*} 2x_1 + 7x_2 + x_3 - 6x_4 = 0, \\ 5x_1 - 10x_2 - x_3 + 3x_4 = -1, \\ x_1 - 8x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \\ 9x_1 + 6x_2 - 9x_3 + x_4 = -8. \end{align*}$

Perhatikan bahwa, sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi
$2x_1 + 7x_2 + x_3 + 5x_4 = 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (1)$
$5x_1 + x_2 + 10x_3 + 3x_4 = 10, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \ldots (2)$
$x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (3)$
$9x_1 + 6x_2 + 2x_3 + x_4 = 3. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (4)$
Dari $(1) + (2) + (3) + (4)$ , diperoleh persamaan $(5)$ :

$\begin{align*} & \qquad \quad 17x_1 + 17x_2 + 17x_3 + 17x_4 = 16 \\ &\iff 6x_1 + 6x_2 + 6x_3 + 6x_4 = 5 \\ &\iff 3x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 8 \\ &\iff x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10. \end{align*}$

Dari $(1) - (5)$ , diperoleh $x_1 + 6x_2 + 4x_4 = 1. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (6)$
Dari $(2) - (5)$ , diperoleh $4x_1 + 9x_3 + 2x_4 = 0. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (7)$
Dari $(3) - (5)$ , diperoleh $2x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 4. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (8)$
Dari $(4) - (5)$ , diperoleh $8x_1 + 5x_2 + x_3 = 4. \; \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (9)$
Dari $(6) - (7) - (8) + (9)$ , diperoleh

$\begin{align*} & \qquad \quad 5x_1 + 9x_2 + 6x_4 = 1 \\ &\iff 5x_1 - 2x_2 + 11x_3 - 5x_4 = 1. \end{align*}$

Jadi, nilai dari $5x_1 - 2x_2 + 11x_3 - 5x_4$ adalah $\boxed{1}$ .

Video Penjelasan:

Leave A Comment Batalkan balasan

Artikel Terbaru

Komentar