[latexpage]
Soal Diberikan sistem persamaan linear di $GF_{11}$ sebagai berikut.
\begin{align*}
2x_1 + 7x_2 + x_3 – 6x_4 = 0, \\
5x_1 – 10x_2 – x_3 + 3x_4 = -1, \\
x_1 – 8x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \\
9x_1 + 6x_2 – 9x_3 + x_4 = -8.
\end{align*}
Tentukan nilai dari $5x_1 – 2x_2 + 11x_3 – 5x_4$.
Pembahasan
Diberikan sistem persamaan linear di $GF_{11}$ sebagai berikut.
\begin{align*}
2x_1 + 7x_2 + x_3 – 6x_4 = 0, \\
5x_1 – 10x_2 – x_3 + 3x_4 = -1, \\
x_1 – 8x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \\
9x_1 + 6x_2 – 9x_3 + x_4 = -8.
\end{align*}
Perhatikan bahwa, sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi
$2x_1 + 7x_2 + x_3 + 5x_4 = 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (1)$
$5x_1 + x_2 + 10x_3 + 3x_4 = 10, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \ldots (2)$
$ x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (3)$
$9x_1 + 6x_2 + 2x_3 + x_4 = 3. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (4)$
Dari $(1) + (2) + (3) + (4)$, diperoleh persamaan $(5)$:
\begin{align*} & \qquad
\quad 17x_1 + 17x_2 + 17x_3 + 17x_4 = 16 \\
&\iff 6x_1 + 6x_2 + 6x_3 + 6x_4 = 5 \\
&\iff 3x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 8 \\
&\iff x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10.
\end{align*}
Dari $(1) – (5)$, diperoleh $x_1 + 6x_2 + 4x_4 = 1. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (6)$
Dari $(2) – (5)$, diperoleh $4x_1 + 9x_3 + 2x_4 = 0. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (7)$
Dari $(3) – (5)$, diperoleh $2x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 4. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (8)$
Dari $(4) – (5)$, diperoleh $8x_1 + 5x_2 + x_3 = 4. \; \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (9)$
Dari $(6) – (7) – (8) + (9)$, diperoleh
\begin{align*} & \qquad
\quad 5x_1 + 9x_2 + 6x_4 = 1 \\
&\iff 5x_1 – 2x_2 + 11x_3 – 5x_4 = 1.
\end{align*}
Jadi, nilai dari $5x_1 – 2x_2 + 11x_3 – 5x_4$ adalah $\boxed{1}$.
Video Penjelasan:
[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]