Pembahasan Soal 1 Ring dan Lapangan

[latexpage]

Soal Misalkan $S = \{1, 2, 3\}$ dan $P(S)$ adalah himpunan kuasa dari $S$. Didefinisikan dua operasi biner pada $P(S)$ sebagai berikut:
Untuk setiap $A, B \in P(S)$,
\[
A + B = (A \cup B) – (A \cap B), \quad A \cdot B = A \cap B.
\]
Tunjukkan bahwa $(P(S), +, \cdot)$ merupakan sebuah ring komutatif.

Pembahasan

1. $P(S) = \{\{\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} .$Diambil sebarang $X,Y \in P(S)$. Artinya, $X,Y \subseteq S$. Diperoleh
   \begin{align*}
   X+Y=(X \cup Y) – (X \cap Y) \subseteq S.
   \end{align*}
2. Diambil sebarang $X,Y,Z \in P(S)$. Berlaku
   \begin{align*}
   (X+Y)+Z&= ((X \cup Y) – (X \cap Y)) + Z\\
   &= [((X \cup Y) – (X \cap Y)) \cup Z]\\
   &\hspace{0.7cm}-[((X \cup Y) – (X \cap Y)) \cap Z]\\
   &=[((X \cup Y) \cap (X \cap Y)^C) \cup Z]\\
   &\hspace{0.7cm}-[((X \cup Y) \cap (X \cap Y)^C) \cap Z]\\
   &=[(X \cup Y \cup Z) \cap ((X \cap Y)^C \cup Z)]\\
   &\hspace{0.7cm}-[((X \cup Y) \cap (X \cap Y)^C) \cap Z]\\
   &=[(X\cup Y\cup Z)\cap (X^C\cup Y^C\cup Z)]\\
   &\hspace{0.7cm}-[(X\cup Y)\cap (X^C\cup Y^C)\cap Z]\\
   &=[( (X\cap Y^C)\cup (X\cap Z)\cup(Y\cap X^C)\cup\\
   &\hspace{0.7cm} (Y\cap Z)\cup (Z\cap X^C)\cup (Z\cap Y^C)\cup Z)\cap \\
   &\hspace{0.7cm}-\{\}\\
   &\hspace{0.7cm}-[((X\cup Y)\cap (X^C\cup Y^C))\cap Z]\\
   &\hspace{0.7cm}….\\
   &=[(X \cup ((Y \cup Z) \cap (Y \cap Z)^C))]\\
   &\hspace{0.7cm}- [X \cap ((Y \cup Z) \cap (Y \cap Z)^C)]\\
   &=[(X \cup ((Y \cup Z) – (Y \cap Z)))]\\
   &\hspace{0.7cm}- [X \cap ((Y \cup Z) – (Y \cap Z))]\\
   &=X+((Y \cup Z) – (Y \cap Z))\\
   &=X+(Y+Z)
   \end{align*}
3. Terdapat $\{\} \in P(S)$, sehingga untuk setiap $X \in P(S)$, berlaku
   \begin{align*}
   \{\} + X=(\{\} \cup X)-(\{\}\cap X)=X-\{\}=X\cap P(S)=X , \\
   X + \{\} =(X \cup \{\} )-(X \cap \{\})=X-\{\}=X\cap P(S)=X.
   \end{align*}
4. Untuk setiap $X\in P(S)$, terdapat $X^{-1}=X\in P(S)$ sehingga berlaku
   \begin{align*}
   X+X^{-1}&=X+X\\
   &=(X\cup X)-(X\cap X)\\
   &=(X\cup X)\cap(X^C\cup X^C)\\
   &=X\cap X^C\\
   &=\{\}
   \end{align*}
   dan
   \begin{align*}
   X^{-1}+X&=X+X=\{\}
   \end{align*}
   Untuk setiap $X,Y\in P(S)$, berlaku
   \begin{align*}
   X+Y&=(X\cup Y)-(X\cap Y)\\
   &=(Y\cup X)-(Y\cap X)\\
   &=Y+X .\\
   \end{align*}

Jadi, $(P(S),+)$ merupakan grup komutatif.
Untuk menunjukkan sebuah ring komutatif, dapat dilihat dari tabel Cayley.

 

Video Penjelasan:

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]