[latexpage]
Soal Suppose that $R$ is an integral domain with identity. Suppose that $I$ and $J$ are ideals in $R$ and that $I=\langle b \rangle$, where $b \in R$. Prove that $I+J=R$ if and only if $b+J$ is a unit in the ring $R/J$.
Pembahasan
Diberikan $R$ daerah integral dengan identitas, $I$ dan $J$ ideal di $R$, serta $I = \langle b \rangle$ untuk suatu $b \in R$.
$(\Longrightarrow)$ Diberikan $I+J=R$. Oleh karena $1_R \in R$, terdapat elemen $i \in I$ dan $j \in J$ sehingga $i+j=1_R$. Oleh sebab $I = \langle b \rangle$, maka dapat dituliskan $i=rb$ untuk suatu $r \in R$. Akibatnya $rb+j=1_R$. Diperhatikan bahwa $rb+J=rb+j +J$ Selanjutnya, diperoleh
\begin{align*}
1_R+J = rb+j+J=rb + J = (r+J)(b+J)
\end{align*}
Oleh sebab $1_{R/J}= 1_R+J$ dan $R$ ring komutatif, didapat
$(r+J)(b+J)=1_{R/J} \quad \text{dan} \quad (b+J)(r+J)=br+J=rb+J=1_{R/J}$.
Dari hasil di atas, diperoleh bahwa $b+J$ merupakan elemen unit di ring $R/J$.
$(\Longleftarrow)$ Dalam hal ini, oleh karena $I,J \subseteq R$, diperoleh $I+J \subseteq R$. Selanjutnya, diketahui $b+J$ adalah elemen unit di ring $R/J$. Artinya, untuk suatu $r+J \in R/J$, diperoleh
\begin{align*}
(r+J)(b+J)=1_{R/J}=(b+J)(r+J)
\end{align*}
sehingga $rb+J = 1_R+J$. Diambil sebarang $r \in R$. Diperoleh
\begin{align*}
& (r+J)(rb+J) = (r+J)(1_R+J)\\
\iff & (rrb+J)=(r+J) \iff rrb-r \in J.
\end{align*}
Akibatnya $rrb-r=j \iff r=rrb+j$ untuk suatu $j \in J$. Oleh karena $rr \in R$ dan $I = \langle b \rangle$, diperoleh $rrb \in I$. Jadi, $r \in I+J$. Dengan kata lain, $R \subseteq I+J$. Dengan demikian, $I+J = R$.
Video Penjelasan:
[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]