Pembahasan Soal 3 Lapangan Galois

Soal Diberikan lapangan hingga F_8 yang dikonstruksikan dari polinomial irredusibel f(x) = 1 + x + x^3 atas GF_2[x]. Diketahui bahwa \alpha merupakan elemen primitif dari F_8. Tunjukkan bahwa \alpha^5 juga merupakan elemen primitif dari F_8.

Pembahasan

Diberikan lapangan hingga F_8 yang dikonstruksikan dari polinomial irredusibel f(x) = 1 + x + x^3 atas GF_2[x]. Diketahui bahwa \alpha merupakan elemen primitif dari F_8. Akan ditunjukkan bahwa \alpha^5 juga merupakan elemen primitif dari F_8.
Diketahui bahwa \alpha merupakan elemen primitif, sehingga 1 + \alpha + \alpha^3=0.
Artinya \mathbb{F}_8 \setminus \{0\} = \{\alpha^0 = 1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^6\}, dengan

    \begin{align*} \alpha^{0}&=1\\ \alpha^1&=\alpha\\ \alpha^2&=\alpha^2\\ \alpha^3&=\alpha+1\\ \alpha^4&=\alpha^2+\alpha\\ \alpha^5&=\alpha^2+\alpha+1\\ \alpha^6&=\alpha^2+1 . \end{align*}

Untuk sebarang bilangan bulat positif k, dapat dipandang bahwa \alpha^k=\alpha^{7s+b} dengan 7s+b=k dan 0\leq b <7. Dalam hal ini

    \begin{align*} \alpha^k=\alpha^{7s+b}=\alpha^{7s}\alpha^{b}=1\alpha^b=\alpha^b. \end{align*}

Diperoleh

    \begin{align*} (\alpha^5)^{0}&=\alpha^0=1\\ (\alpha^5)^{1}&=\alpha^5\\ (\alpha^5)^{2}&=\alpha^{10}=\alpha^3\\ (\alpha^5)^{3}&=\alpha^{15}=\alpha\\ (\alpha^5)^{4}&=\alpha^{20}=\alpha^6\\ (\alpha^5)^{5}&=\alpha^{25}=\alpha^4\\ (\alpha^5)^{6}&=\alpha^{30}=\alpha^2 \end{align*}

Dengan demikian, \alpha^5 merupakan \boxed{\text{elemen primitif}} dari F_8.

Video Penjelasan:

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*