[latexpage]
Soal Diberikan lapangan hingga $F_8$ yang dikonstruksikan dari polinomial irredusibel $f(x) = 1 + x + x^3$ atas $GF_2[x]$. Diketahui bahwa $\alpha$ merupakan elemen primitif dari $F_8$. Tunjukkan bahwa $\alpha^5$ juga merupakan elemen primitif dari $F_8$.
Pembahasan
Diberikan lapangan hingga $F_8$ yang dikonstruksikan dari polinomial irredusibel $f(x) = 1 + x + x^3$ atas $GF_2[x]$. Diketahui bahwa $\alpha$ merupakan elemen primitif dari $F_8$. Akan ditunjukkan bahwa $\alpha^5$ juga merupakan elemen primitif dari $F_8$.
Diketahui bahwa $\alpha$ merupakan elemen primitif, sehingga $1 + \alpha + \alpha^3=0$.
Artinya $\mathbb{F}_8 \setminus \{0\} = \{\alpha^0 = 1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^6\}$, dengan
\begin{align*}
\alpha^{0}&=1\\
\alpha^1&=\alpha\\
\alpha^2&=\alpha^2\\
\alpha^3&=\alpha+1\\
\alpha^4&=\alpha^2+\alpha\\
\alpha^5&=\alpha^2+\alpha+1\\
\alpha^6&=\alpha^2+1 .
\end{align*}
Untuk sebarang bilangan bulat positif $k$, dapat dipandang bahwa $\alpha^k=\alpha^{7s+b}$ dengan $7s+b=k$ dan $0\leq b <7$. Dalam hal ini
\begin{align*}
\alpha^k=\alpha^{7s+b}=\alpha^{7s}\alpha^{b}=1\alpha^b=\alpha^b.
\end{align*}
Diperoleh
\begin{align*}
(\alpha^5)^{0}&=\alpha^0=1\\
(\alpha^5)^{1}&=\alpha^5\\
(\alpha^5)^{2}&=\alpha^{10}=\alpha^3\\
(\alpha^5)^{3}&=\alpha^{15}=\alpha\\
(\alpha^5)^{4}&=\alpha^{20}=\alpha^6\\
(\alpha^5)^{5}&=\alpha^{25}=\alpha^4\\
(\alpha^5)^{6}&=\alpha^{30}=\alpha^2
\end{align*}
Dengan demikian, $\alpha^5$ merupakan $\boxed{\text{elemen primitif}}$ dari $F_8$.
Video Penjelasan:
[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]