Pembahasan Soal 7 Induksi Matematika

File Tayangan

Soal: Buktikan 4 \times 2^n | a^{2^n}-1, untuk setiap a bilangan ganjil dan n \in \mathbb{N}.

Pembahasan:

Karena a bilangan ganjil, maka a dapat dinyatakan 2p-1, \forall p \in \mathbb{N}. Maka Soal dapat ditulis menjadi 2^{n+2} | (2p-1)^{2^n}-1.

Pertama-tama akan ditunjukkan (2p-1)^{2^k}+1 adalah bilangan genap.
Bukti : \forall k \in \mathbb{N}, 2^k selalu genap sehingga \forall p \in \mathbb{N} (2p-1)^{2^k} Selalu ganjil. Jadi dapat disimpulkan (2p-1)^{2^k}+1 bilangan genap, dinyatakan dalam 2y.

Selanjutnya permasalahan utama akan dibuktikan benar dengan metode induksi.

Bukti :

  • Akan dibuktikan benar untuk n=1.

        \[2^{1+2} | (2p-1)^{2^1}-1 \Leftrightarrow 2^{3} | 4p^2 - 4p$ \Leftrightarrow 2^{3} | 4p(p - 1).\]

    Terbukti, sebab p \in \mathbb{N} maka p(p-1)\ge 0 dan genap.

  • Asumsikan benar untuk n=k. Jadi

        \[2^{k+2} | (2p-1)^{2^k}-1.\]

    Selanjutnya nyatakan sebagai

        \[(2^{k+2} \times z) .\]

  • Akan dibuktikan benar juga untuk n=k+1.

    (1)   \begin{align*} $2^{k+1+2} | (2p-1)^{2^k+1}-1 &\Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | (2p-1)^{2^k \cdot 2^1}-1 \\ & \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | ((2p-1)^{2^k}+1) ((2p-1)^{2^k}-1) \\ & \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | ((2p-1)^{2^k}+1) \cdot 2^{k+2} \cdot z . \end{align*}

    Perhatikan bahwa (2p-1)^{2^k}+1 dapat dinyatakan dalam 2y. Diperoleh

        \[2^{k+2} \cdot 2 | 2y \cdot 2^{k+2} \cdot z \Leftrightarrow 2^{k+2} \cdot 2 | 2^{k+2} \cdot 2 \cdot yz\]

    (Terbukti).

Credit: Slamet Ramadhan

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*