TEORI PARTISI

Teori partisi merupakan salah satu topik penelitian di bidang teori bilangan dan matematika diskrit. Suatu partisi dari bilangan bulat positif n adalah suatu cara untuk menyatakan n sebagai jumlahan dari bilangan bulat positif tanpa memperhatikan urutan. Sebagai contoh, 4 dapat dinyatakan dalam 5 cara berbeda:

    \[4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1.\]

Perhatikan bahwa 3+1 dan 1+3 dianggap partisi yang sama.

Suatu penjumlah dari partisi juga biasa disebut dengan part. Banyaknya partisi dari n dinyatakan dalam p(n), dengan p(0)=1. Sebagai contoh, p(4)=5. Nilai dari p(n) secara umum dapat dicari menggunakan fungsi pembangkit beriku:

    \[\sum_{n=0}^{\infty} p(n) q^n = \prod_{j=1}^{\infty} \frac{1}{(1-q^j)} .\]

Salah satu hasil yang menarik di teori partisi adalah kongruensi berikut:

Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n berlaku

    \begin{align*} p(5n+4) &\equiv 0 \pmod{5},\\ p(7n+5)&\equiv 0 \pmod{7},\\ p(11n+6)&\equiv 0 \pmod{11}. \end{align*}

Hal ini berarti jika n bersisa 4 ketika dibagi 5 atau n\in \{4,9,14,19,24,29,\dots \} maka banyak partisinya kelipatan 5. Hal yang sama juga berlaku untuk kasus kongruensi modulo 7 dan 11. Tentunya ada banyak hal menarik yang dapat dipelajari di ranah teori partisi yang dapat dilihat dari berbagai paper yang diterbitkan di jurnal khususnya di ranah teori bilangan dan matematika diskrit.

 

Berikut ini beberapa jurnal khusus yang memuat artikel terkait teori partisi:

  1. Ramanujan Journal
  2. International Journal of Number Theory
  3. Journal of Number Theory
  4. Journal of Integer Sequences
  5. Integers

 

Beberapa artikel civitas akademika UGM terkait teori partisi:

  1. 2023, Interpretasi Kombinatorial Kongruensi Fungsi Partisi Biner Modulo 2
  2. 2023, Residu b_{4,6}(n) terhadap modulo 2 dan 3
  3. 2022, New congruences for fractional powers of the generating function for the partition function
  4. 2021, Bukti Alternatif Beberapa Fungsi Pembangkit pada Partisi dengan Penjumlah Ditandai
  5. 2019, The Number of Representations of a Positive Integer by Triangular, Square and Decagonal Numbers
  6. 2019, On k-restricted Overpartitions
  7. 2018, On Some Congruences for Andrews’ Singular Overpartitions