[embedyt] https://youtu.be/JStEAxx3ots[/embedyt]
[latexpage]
Diberikan himpunan tak kosong $A\subseteq \mathbb{R}$. Pemetaan $f : \mathbb{N}_{0} \rightarrow A$ disebut barisan pada $A$, atau barisan dengan suku-suku di $A$. Nilai $f(n)$ disebut suku ke-$n$. Barisan ditulis dengan $f$
- $\{ f(0), f(1),f(2) \ldots, \}$ atau
- $\{ f(i) \}_{i \geq 0}$
Jika $f(n) = a_{n}$, barisan $f$ ditulis juga dengan $\{ a_{n} \}_{n \geq 0}$ atau $\{ a_{n} \}.$
Selanjutnya akan dibahas beberapa barisan yang telah kita kenal, yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri. Barisan aritmatika adalah barisan dalam bentuk
\begin{equation*}
a, a+b, a+2b, \cdots, a+nb,\cdots
\end{equation*}
dengan suku awal $a$ dan beda $b$ merupakan bilangan real. Barisan geometri adalah barisan dalam bentuk
\begin{equation*}
a, ar, ar^{2}, \cdots, ar^{n},\cdots
\end{equation*}
dengan suku awal $a$ dan rasio $b$ merupakan bilangan real.
Barisan aritmatika $\{a_{n}\}$ dengan suku awal $a_{0}$ dan beda $b$ memenuhi
\begin{equation*}
a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 2$. Sedangkan barisan geometri $\{b_{n}\}$ dengan suku awal $b_{0}$ dan rasio $r$ memenuhi
\begin{equation*}
b_{n}=rb_{n-1}
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 1$.
Barisan $\{ a_{n} \}$ dinamakan barisan rekurensi linear (homogen) jika terdapat konstanta $c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{k}$ yang memenuhi
\[ 0 = c_{0}a_{n} + c_{1}a_{n + 1} + c_{2}a_{n + 2} + \cdots + c_{k}a_{n + k} \]
$c_{k} \neq 0$ dan $c_{0} \neq 0$, untuk setiap $n \in \mathbb{Z}$. Bilangan $k$ disebut order barisan. Jika indeks $n$ mulai dari $0$ persamaan di atas berlaku untuk $n \geq 0$.
Sebagai contoh, diberikan barisan $\{ 1, -2, 4, -8, 16, -32, \dots \}$. Terlihat bahwa suku-suku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekurensi
\[ a_{n + 1} = -2a_{n}, \]
diperoleh
\[ 0 = 2a_{n} + a_{n + 1} \]
dengan $k = 1$, $c_{0} = 2$ dan $c_{1} = 1$
Komentar