LATIS

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

Download Tayangan

[latexpage]

Pengertian latis termotivasi dari sifat-sifat poset. Poset $(A;\leq )$ disebut latis (terurut) / ordered lattice jika $\inf\{x,y\}$ dan $\sup\{x,y\}$ ada untuk setiap $x,y \in A.$ Dengan mudah dapat diverifikasi bahwa suatu chain merupakan lattice (terurut).

Setiap latis dengan berhingga elemen mempunyai elemen terbesar dan juga mempunyai elemen terkecil. Untuk sebarang latis (terurut) $(A; \leq)$ dan $x, y \in A$, tiga pernyataan berikut ekuivalen:

  • $x \leq y;$
  • $\sup\{x, y\} = y;$
  • $\inf \{x, y\} = x.$

Catatan: Elemen terkecil dan terbesar suatu latis (jika ada), berturut turut dinotasikan dengan 0 dan 1.

Selanjutnya diberikan terminologi lain dari latis. Latis (aljabar) adalah himpunan $L\neq \emptyset$ yang
dilengkapi dengan dua operasi biner $\wedge$ (meet) dan $\vee$ (join) dengan sifat:

  • Komutatif : $(\forall x,y \in L) [x\wedge y = y \wedge x \text{ dan }x\vee y = y \vee x]$.
  • Assosiatif : $(\forall x,y,z \in L)[(x \wedge y)\wedge z = x \wedge (y\wedge z) \text{ dan } (x\vee y) \vee z = x \vee (y \vee z)]$.
  • Absorpsi : $(\forall x,y \in L) [x\vee (x\wedge y)=x \text{ dan } x\wedge(x\vee y) = x].$
  • Idempoten : $(\forall x\in L) [x\wedge x =x \text{ dan } x\vee x=x]$.

Sebagai contoh latis (aljabar), untuk sebarang himpunan $A\neq \emptyset$, himpunan $P(A)$ dengan dua operasi $\cap$ dan $\cup$ merupakan latis (aljabar). Contoh lainnya, himpunan semua bilangan asli dengan dua operasi $\wedge$ dan $\vee$ dengan definisi berturut-turut $x\wedge y := \gcd\{x,y\}$ dan $x\vee y :=\text{lcm}\{x,y\}$ merupakan latis (aljabar).

Selanjutnya diberikan hubungan antara latis (terurut) dengan latis (aljabar). Misalkan $(L; \leq)$ merupakan latis (terurut). Jika didefinisikan dua operasi biner $\wedge$ dan $\vee$ pada $L$ dengan
$$x\wedge y := \inf\{x,y\}$$
dan
$$x\vee y:= \sup\{x,y\}$$
untuk setiap $x,y\in L$, maka $(L; \wedge, \vee)$ merupakan latis (aljabar).

Terakhir, diberikan hubungan antara latis (aljabar) dengan latis (terurut). Misalkan $(L; \wedge, \vee)$ merupakan latis (aljabar). Jika pada $L$ didefinisikan relasi biner $\leq $ pada $L$ dengan
$$x \leq y :\Leftrightarrow x \wedge y = x$$
untuk setiap $x, y \in L,$ maka $(L; \leq)$ merupakan latis (terurut).

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Latis