ALJABAR BOOLE

Download Tayangan

Pertama-tama dibahas beberapa definisi di latis sebagai dasar dari pendefinisian Aljabar Boole. Diberikan latis (L;\leq) dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1 dan a\in L. Elemen b\in L disebut komplemen a jika

    \[a\vee b=1\]

dan

    \[a\wedge b=0.\]

Latis dengan elemen 0 dan 1 disebut latis complemented jika setiap elemennya mempunyai komplemen. Latis (L;\wedge,\vee) disebut latis distributif jika

    \[x\wedge (y\vee z )= (x\wedge y)\vee(x\wedge z)\]

dan

    \[x\vee (y\wedge z )= (x\vee y)\wedge(x\vee z)\]

untuk setiap x,y,z\in L. Latis dengan elemen 0 dan 1 disebut Latis Boole (Boolean lattice) jika latis tersebut complemented dan distributif.

Diberikan Latis Boole (L;\leq). Jika pada L didefinisikan operasi uner \bar{} dengan \bar{x}:={\rm komplemen} ~ x untuk setiap x\in L maka kita mendapatkan sistem aljabar dengan tiga operasi (2 biner dan 1 uner) (L;\wedge,\vee,\bar{}). Selanjutnya sistem aljabar (L;\wedge,\vee,\bar{}) disebut Aljabar Boole (Boolean Algebra). Sebagai contoh Aljabar Boole adalah sistem aljabar (P(A);\cap,\cup,^c) merupakan Aljabar Boole yang didefinisikan dari Latis Boole (P(A);\subseteq).

Selanjutnya akan dibahas beberapa sifat dari Aljabar Boole. Diberikan Aljabar Boole (L;\wedge,\vee,\bar{}). Untuk setiap x,y\in L berlaku:

  • \overline{x\vee y}=\bar{x}\wedge \bar{y},
  • \overline{x\wedge y}=\bar{x}\vee \bar{y}.

Untuk sebarang latis distributif L dan untuk sebarang x,y\in L, jika x\wedge \bar{y}=0, maka x\leq y.

Terakhir, Aljabar Boole bersifat tunggal terhadap isomorfisma. Misalkan (A;\wedge,\vee,\bar{}) adalah Aljabar Boole berhingga dan misalkan S adalah himpunan semua atom di A. Maka (A;\wedge,\vee,\bar{}) isomorfis dengan sistem aljabar yang didefinisikan oleh aljabar Boole (P(S);\cap,\cup,^c).

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Aljabar Boole