Pembahasan Soal 2 Induksi Matematika

File Tayangan

Soal:

Diberikan x \in \mathbb{R}, dengan x>1 dan x\neq 0. Dengan induksi matematika, buktikkan bahwa untuk setiap n\in\mathbb{N}, n\geq 2, berlaku

    \[(1+x)^n > 1+ nx.\]

Pembahasan:

  • Pertama-tama akan ditunjukkan untuk n=2 adalah benar.

Perhatikan bahwa

    \[\displaystyle\ (1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x, \text{ untuk } \ x>1.\]

Jadi, untuk n=2, terbukti benar bahwa (1+x)^n > 1+nx.

  • Diasumsikan untuk n=k benar, maka

        \[(1+x)^k > 1+kx\]

  • Akan ditunjukkan jika n=k benar, maka n=k+1 juga benar. Maka berlaku

        \begin{align*} (1+x)^{k+1} & = (1+x)^k (1+x) \\ & > (1+kx)(1+x) & \text{ karena } \ (1+x)^k > (1+kx) \\ & = 1+kx+x+kx^2 \\ & = 1+(k+1)x+kx^2 \\ & > 1+(k+1)x \end{align*}

    Akibatnya, jika n=k benar, maka n=k+1 juga benar. Dengan demikian, jika n=2,n=k,n=k+1 benar, maka langkah induksi matematika terhenti.

Terbukti bahwa

    \[(1+x)^n > 1+ nx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq 2 .\]

 

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*