Pembahasan Soal 5 Induksi Matematika

Soal: Diberikan $f(x)$ adalah sebuah polinomial berderajat $n$ . Buktikan melalui induksi, bahwa untuk setiap $\alpha\in\mathbb{R}$ , terdapat polinomial $p$ yang berlaku $p(x)=f(x+\alpha)$ juga berderajat $n$ .

Pembahasan:

Jika $n=1$ , maka polinomial $f(x)=c_{0}+c_{1}x$ , karena $p(x)= f(x+\alpha)$ diperoleh $p(x)=c_{0}+c_{1}(x+\alpha)=c_{0}+\alpha c_{1} + c_{1}x$ . Jadi untuk $n=1$ benar bahwa polinomial $p$ juga berderajat $n$ .
Pernyataan tersebut adalah benar jika untuk semua polinomial berderajat kurang dari $n$ . Didefinisikan $g(x)=\sum_{k=0}^{n-1} c_{k}x^{k},$ maka $f(x)=g(x)+c_{n}x^{n}$ . Karena $g(x)$ adalah polinomial berdejarat kurang dari $n$ , selanjutnya akan ditunjukkan melalui langkah induksinya. Andaikan terdapat polinomial $q$ dengan $q(x)=g(x+a)$ artinya $q$ juga merupakan polinomial berderajat kurang dari $n$ diperoleh $q(x)=\sum_{k=0}^{n-1} d_{k}x^{k}$ . Sehingga
$p(x)=f(x+a)=g(x+a)+c_{n}(x+a)^{n}=q(x)+c_{n}(x+a)^{n}.$

Selanjutnya pandang teorema binomial berikut

$(x+a)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} a^{n-k}$

Diperoleh

$\begin{align*} p(x) &=\sum_{k=0}^{n-1} d_{k}x^{k}+ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} a^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \Big(d_{k}+c_{n}\binom{n}{k}\Big)x^{k} + c_{n}x^{n} \end{align*}$

Untuk $c_{n}$ yang tidak nol, dengan induksi, terbukti bahwa jika $f(x)$ adalah sebuah polinomial berderajat $n$ , maka untuk setiap $\alpha\in\mathbb{R}$ , terdapat sebuah polinomial $p$ yang berlaku $p(x)=f(x+\alpha)$ juga berderajat $n$ .

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment Batalkan balasan

Artikel Terbaru

Komentar