Pembahasan Soal 2 Teorema Binomial

Soal: Tentukan koefisien $x^{12}$ pada ekspansi $\displaystyle\left( x + y + \frac{1}{y}\right)^{20}$ .

Pembahasan:

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli, Maka untuk semua $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ berlaku

$(x_{1}+x_{2} + \ldots + x_{m})^{n} = \sum \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \cdots k_{m}!} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{m}^{k_{m}}.$

Menurut teorema multinomial di atas, diperoleh koefisien $x^{12}$ pada ekspansi $\left(x + y + \frac{1}{y}\right)^{12}$ adalah

$\displaystyle\binom{20}{12,8,4} =\binom{20}{12} \binom{12}{8} \binom{4}{4} = 125970 \times 70 \times 1 = 8817900 .$

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Kalender