Pembahasan Soal 4 Teorema Binomial

File Tayangan

Soal: Diberikan bilangan bulat positif n, buktikkan bahwa

    \[ \binom{2n}{2} = 2 \binom{n}{2} + n^2\]

a). dengan manipulasi aljabar,
b). dengan argumentasi kombinatorial.

Pembahasan:

a. Diperoleh,

    \begin{align*} \binom{2n}{2} &= \frac{(2n)!}{2! (2n-2)!} \\ &= 2n^2 - n \\ &= n(n-1) + n^2 \\ &= 2 \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} + n^2 \\ &= 2\binom{n}{2} + n^2 \end{align*}

b. Misalkan pada suatu kelas terdiri atas 2n mahasiswa di mana terdapat n anak laki-laki dan n anak perempuan. Ingin memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas secara acak. Maka banyak cara memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas yaitu

    \[\displaystyle\binom{2n}{n} .\]

Diperhatikan bahwa, terdapat cara lain untuk memilih nya, yaitu:

  • Ketua kelas dan wakil ketua kelas dipilih dari laki-laki sehingga didapat banyak cara memilih yaitu \binom{n}{2}.
  • Ketua kelas dan wakil ketua kelas dipilih dari perempuan sehingga didapat banyak cara memilih yaitu \binom{n}{2}.
  • Ketua kelas dan wakil ketua kelas dipilih dari laki-laki atau perempuan sehingga didapat banyak cara memilih yaitu \binom{n}{1} \times \binom{n}{1}.

Dengan demikian, banyaknya cara memilih ketua kelas dan wakil ketua kelas yang dipilih dari 2n mahasiswa, yaitu

    \[ \binom{2n}{2} = \binom{n}{2} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = 2 \binom{n}{2} + n^2 .\]

 

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*