[latexpage]
Soal: Tentukan banyaknya bilangan dari $1$ sampai $70$ yang relatif prima terhadap $70$.
Pembahasan:
Diketahui bahwa pembagi prima dari $70$ yaitu $2,5,$ dan $7$. Selanjutnya, di defenisikan $A$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $2$, $B$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $5$, $A$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $7$. Akan dicari banyaknya bilangan dari $1$ sampai $70$ yang relatif prima terhadap $70$ yaitu $|A^{c}\cup B^{c} C^{c}|$.
Diperoleh,
\begin{align*}
|A| &= \lfloor\frac{70}{2}\rfloor =35 & |B| &= \lfloor\frac{70}{5}\rfloor=14\\
|C| &= \lfloor\frac{70}{7}\rfloor = 10 & |A\cap B| &= \lfloor\frac{70}{10}\rfloor = 7 \\
|B\cap C| &= \lfloor\frac{70}{35}\rfloor = 2 & |A\cap C| &= \lfloor\frac{70}{14}\rfloor = 5 \\
|A\cap B \cap C| &= \lfloor\frac{70}{70}\rfloor = 1 & |S| = 70
\end{align*}
Dengan menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi, diperoleh
\begin{align*}
|A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c}| &= |S| – \Bigg(|A|+|B|+|C|-\Big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B \cap C|\Big)+|A\cap B \cap C|\Bigg) \\
&= 24 .
\end{align*}
Credit: Fadhlan Zhaahiran