Pembahasan Soal 2 Prinsip Inklusi-Eksklusi

Soal: Tentukan banyaknya bilangan dari $1$ sampai $70$ yang relatif prima terhadap $70$ .

Pembahasan:

Diketahui bahwa pembagi prima dari $70$ yaitu $2,5,$ dan $7$ . Selanjutnya, di defenisikan $A$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $2$ , $B$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $5$ , $A$ adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $7$ . Akan dicari banyaknya bilangan dari $1$ sampai $70$ yang relatif prima terhadap $70$ yaitu $|A^{c}\cup B^{c} C^{c}|$ .

Diperoleh,

$\begin{align*} |A| &= \lfloor\frac{70}{2}\rfloor =35 & |B| &= \lfloor\frac{70}{5}\rfloor=14\\ |C| &= \lfloor\frac{70}{7}\rfloor = 10 & |A\cap B| &= \lfloor\frac{70}{10}\rfloor = 7 \\ |B\cap C| &= \lfloor\frac{70}{35}\rfloor = 2 & |A\cap C| &= \lfloor\frac{70}{14}\rfloor = 5 \\ |A\cap B \cap C| &= \lfloor\frac{70}{70}\rfloor = 1 & |S| = 70 \end{align*}$

Dengan menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi, diperoleh

$\begin{align*} |A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c}| &= |S| - \Bigg(|A|+|B|+|C|-\Big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B \cap C|\Big)+|A\cap B \cap C|\Bigg) \\ &= 24 . \end{align*}$

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment Batalkan balasan

Artikel Terbaru

Komentar