Pembahasan Soal 4 Prinsip Inklusi-Eksklusi

File Tayangan

Soal: 

Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan \{1, 2,\ldots, 9\} dimana paling tidak terdapat satu bilangan ganjil yang berada pada urutan aslinya.

Contoh : angka 1 diletakan pada urutan pertama, angka 2 diletakan pada urutan kedua.

Pembahasan:

Petama-tama, dipilih satu bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu \binom{5}{1} = 5 cara dan permutasikan terhadap 8 bilangan lainnya, diperoleh 8! cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu 5\times 8!. Dipilih dua bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu \binom{5}{2} = 10 cara dan permutasikan terhadap 7 bilangan lainnya, diperoleh 7! cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu 10\times7!.
Selanjutnya, dipilih tiga bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu \binom{5}{3} = 10 cara dan permutasikan terhadap 6 bilangan lainnya, diperoleh 7! cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu 10\times 6!. Dipilih empat bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu \binom{5}{4} = 5 cara dan permutasikan terhadap 5 bilangan lainnya, diperoleh 5! cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu 5\times 5!. Dipilih lima bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu \binom{5}{5} = 1 cara dan permutasikan terhadap 4 bilangan lainnya, diperoleh 4! cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu 1\times4!.

Menurut prinsip inklusi eksklusi, diperoleh banyaknya permutasi dari himpunan \{1, 2,\ldots, 9\} dimana paling tidak terdapat satu bilangan ganjil yang berada pada urutan aslinya, yaitu

    \[5\times8!-10\times7!+10\times6!-5\times5!+1\times4!=157842.\]

 

Credit: Fadhlan Zhaahiran

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*