[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]
[latexpage]
Soal: Diberikan himpunan $A$ yang terdiri atas $20$ bilangan yang diambil dari himpunan $S=\{1,4,7,\ldots,100\}$. Buktikkan bahwa setidaknya ada $2$ bilangan yang dipilih dari $A$ berjumlah $104$.
Pembahasan:
Dengan melihat pola dari himpunan $S$, jelas bahwa $S$ membentuk barisan $a_{n}=3n-2,\forall n \in \{1,2,3,\ldots,34\}$. Jika $a_{i}$ dan $a_{j}$ adalah dua buah bilangan yang dipilih dari $S$ yang memiliki jumlah $104$, maka diperoleh \[3i-2+3j-2=140 \iff i+j=36 .\]
Artinya, pernyataan pada soal akan ekuivalen dengan menunjukkan terdapat $20$ bilangan yang dipilih dari $\{1,2,3,\ldots,34\}$ maka ada $2$ bilangan yang jumlahnya $36$.
Selanjutnya, akan ditunjukkan jika $20$ bilangan yang dipilih dari $\{1,2,3,\ldots,34\}$ maka ada $2$ bilangan yang jumlahnya $36$. Pasangan bilangan yang jumlahnya $36$, yaitu
\[\{2,34\},\{3,31\},\ldots,\{17,19\}.\]
Didapat, ada $16$ pasang bilangan yang setiap pasangannya berjumlah $36$. Artinya, dari $20$ bilangan yang dipilih pasti ada dua bilangan yang berpasangan memiliki jumlah $36$.
Dengan demikian, terbukti bahwa himpunan $A$ terdiri ada $20$ bilangan yang diambil dari himpunan $S=\{1,4,7,\ldots,100\}$, maka setidaknya ada $2$ bilangan yang dipilih dari $A$ berjumlah $104$.
Credit: Fadhlan Zhaahiran