Pembahasan Soal 9 Fungsi Pembangkit

Soal

Solve the recurrence relation $a_k = 3a_{k - 1}$ for $k = 1, 2, 3, \dots$ and initial condition $a_0 = 2$ .

Pembahasan

Misalkan $G(x)$ adalah fungsi pembangkit untuk barisan $\{ a_k \}$ , yaitu, $G(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_kx^k$ . Pertama-tama perhatikan bahwa

$\begin{align*} xG(x) & = \sum_{k = 0}^{\infty} a_kx^{k + 1} \\ & = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k - 1}x^k. \end{align*}$

Dengan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan

$\begin{align*} G(x) - 3xG(x) & = \sum_{k = 0}^{\infty} a_kx^k - 3\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k - 1}x^k \\ & = a_0 + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - 3a_{k-1})x^k \\ & = 2, \end{align*}$

karena $a_0 = 2$ dan $a_k = 3a_{k - 1}$ . Dengan demikian, $G(x) - 3xG(x) = (1 - 3x)G(x) = 2$ . Pemecahan untuk $G(x)$ menunjukkan bahwa $G(x) = \dfrac{2}{1 - 3x}$ . Menggunakan identitas $\dfrac{1}{1 - ax} = \sum_{k = 0}^{\infty} a^kx^k$ , didapatkan $G(x) = 2\sum_{k = 0}^{\infty} 3^kx^k = \sum_{k = 0}^{\infty} 2 \cdot 3^kx^k$ . Akibatnya, $a_k = 2 \cdot 3^k$ .

Credit: Ramadhani Latief Firmansyah

Video Penjelasan:

S	S	R	K	J	S	M
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Leave A Comment Batalkan balasan

Kalender

Artikel Terbaru

Arsip

Komentar