isnainiuha

Pos oleh :

Pembahasan Soal 4 Lapangan Galois

Tutorial Rabu, 21 Mei 2025

Soal

Diberikan lapangan hingga dengan banyak anggota 8 yang dikontruksikan dari irreducible polynomial $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ atas $GF(2)$ :

Buktikan bahwa $f(x)$ irreducible pada $GF(2)[x]$
Jika $\alpha$ merupakan akar dari $f(X)$ , cari elemen-elemen lapangan polinomialnya
Konstruksikan tabel Zech’s log untuk lapangan tersebut

Pembahasan

Diberikan $f(x) = x^{3} + x^{2} + 1$ atas $GF_{2}$
\begin{enumerate}[(a)]
\item \textbf{Cara 1}: Andaikan $f(x)$ reducible atas $GF_{2}[x]$ , artinya terdapat $x^2+ax+b, x+c \in GF_{2}[x]$ yang memenuhi

$\begin{align*} f(x) &= (x^2 + ax + b)(x + c) \\ &= x^3 + (a + c)x^2 + (ac + b)x + bc \\ & = x^3 + x^2 + 1 \end{align*}$

Akibatnya, diperoleh persamaan-persamaan berikut

$\begin{align*} a+c=1\:& \ldots(1) \\ ac+b=0\:& \ldots(2) \\ bc = 1\:& \ldots(3) \end{align*}$

Diperhatikan bahwa dari persamaan $(3)$ yaitu $bc = 1$ , diperoleh $b = c = 1$ . Selanjutnya, $b=c=1$ disubstitusikan ke persamaan $(1)$ , diperoleh read more

Pembahasan Soal 5 Lapangan Galois

Tutorial Rabu, 21 Mei 2025

Soal Let $GF_{2^4}$ , proof that $f(x) = x^4 + x + 1$ is the minimum function.

Pembahasan

Lapangan $GF_{2^4}$ adalah lapangan hingga yang memiliki $2^4 = 16$ elemen. Lapangan ini merupakan ekstensi dari lapangan dasar $GF(2)$ , yang terdiri dari dua elemen: \{0, 1\}.

Untuk membangun $GF(2^4)$ , kita memerlukan sebuah polinomial tak tereduksi (irreducible polynomial) derajat 4 atas $GF(2)$ . Jika $f(x)$ adalah polinomial seperti itu, maka:

$GF(2^4) \cong GF(2)[x]/(f(x))$

dengan $f(x) = x^4 + x + 1$

Akan ditunjukkan bahwa $f(x)$ tak tereduksi. Ambil sebarang $\{0, 1\} \in GF(2)$

$f(0) = 0^4 + 0 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \text{bukan akar}$

$f(1) = 1^4 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \text{bukan akar}$

Karena $f(x)$ tidak memiliki akar di $GF(2)$ , maka tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linear. read more

Pembahasan Soal 3 Lapangan Galois

Tutorial Rabu, 21 Mei 2025

Soal Diberikan lapangan hingga $F_8$ yang dikonstruksikan dari polinomial irredusibel $f(x) = 1 + x + x^3$ atas $GF_2[x]$ . Diketahui bahwa $\alpha$ merupakan elemen primitif dari $F_8$ . Tunjukkan bahwa $\alpha^5$ juga merupakan elemen primitif dari $F_8$ .

Pembahasan

Diberikan lapangan hingga $F_8$ yang dikonstruksikan dari polinomial irredusibel $f(x) = 1 + x + x^3$ atas $GF_2[x]$ . Diketahui bahwa $\alpha$ merupakan elemen primitif dari $F_8$ . Akan ditunjukkan bahwa $\alpha^5$ juga merupakan elemen primitif dari $F_8$ .
Diketahui bahwa $\alpha$ merupakan elemen primitif, sehingga $1 + \alpha + \alpha^3=0$ .
Artinya $\mathbb{F}_8 \setminus \{0\} = \{\alpha^0 = 1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^6\}$ , dengan read more

Pembahasan Soal 2 Lapangan Galois

Tutorial Rabu, 21 Mei 2025

Soal Diberikan dua polinomial $p(x)$ dan $q(x)$ di $GF_2[x]$ yang memenuhi deg $(p(x)) < 3$ , deg $(q(x)) < 2$ , dan

$\begin{align*} p(x)(1 + x + x^3) + q(x)(1 + x + x^2 + x^4) = 1. \end{align*}$

Selidiki apakah $p(x)^2 + q(x)$ irredusibel di $GF_2[x]$ .

Pembahasan

Diberikan dua polinomial $p(x)$ dan $q(x)$ di $GF_2[x]$ yang memenuhi deg $(p(x)) < 3$ , deg $(q(x)) < 2$ , dan

$\begin{align*} p(x)(1 + x + x^3) + q(x)(1 + x + x^2 + x^4) = 1. \end{align*}$

Misalkan $p(x) = ax^2 + bx + c$ dan $q(x) = mx + n$ ; $a, b, c, m, n \in GF_2$ .

Substitusikan $p(x) = ax^2 + bx + c$ dan $q(x) = mx + n$ ke persamaan $p(x)(1 + x + x^3) + q(x)(1 + x + x^2 + x^4) = 1$ , diperoleh

$\begin{align*} (ax^2 + bx + c)&(1 + x + x^3) + (mx + n)(1 + x + x^2 + x^4) = 1\\ &\iff ax^2 + bx + c + ax^3 + bx^2 + cx + ax^5 + bx^4 + cx^3 + mx + n + mx^2 + nx + mx^3 + nx^2 + mx^5 + nx^4 = 1\\ &\iff (a + m)x^5 + (b + n)x^4 + (a + c + m)x^3 + (a + b + m + n)x^2 + (b + c + m + n)x + (c + n) = 1. \end{align*}$

Didapatkan sistem persamaan linear di $GF_2$ sebagai berikut.
$a + m = 0, \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (1)$
$b + n = 0, \; \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (2)$
$a + c + m = 0, \; \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (3)$
$a + b + m + n = 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (4)$
$b + c + m + n = 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (5)$
$c + n = 1. \; \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (6)$
Dari $(3) + (1)$ , diperoleh $c = 0. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (7)$
Dari $(6) + (7)$ , diperoleh $n = 1. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (8)$
Dari $(2) + (8)$ , diperoleh $b = 1. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (9)$
Dari $(5) + (7) + (8) + (9)$ , diperoleh $m = 0. \; \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (10)$
Dari $(1) + (10)$ , diperoleh $a = 0.$
Akibatnya, $p(x) = x$ dan $q(x) = 1$ , sehingga $p(x)^2 + q(x) = x^2 + 1$ .
Perhatikan bahwa, jika $x = 1$ , maka $p(1)^2 + q(1) = 1^2 + 1 = 0$ .
Dengan demikian, $p(x)^2 + q(x) \boxed{\text{redusibel}}$ di $GF_2[x]$ . read more

Pembahasan Soal 1 Lapangan Galois

Tutorial Rabu, 21 Mei 2025

Soal Diberikan sistem persamaan linear di $GF_{11}$ sebagai berikut.

$\begin{align*} 2x_1 + 7x_2 + x_3 - 6x_4 = 0, \\ 5x_1 - 10x_2 - x_3 + 3x_4 = -1, \\ x_1 - 8x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \\ 9x_1 + 6x_2 - 9x_3 + x_4 = -8. \end{align*}$

Tentukan nilai dari $5x_1 - 2x_2 + 11x_3 - 5x_4$ .

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan linear di $GF_{11}$ sebagai berikut.

$\begin{align*} 2x_1 + 7x_2 + x_3 - 6x_4 = 0, \\ 5x_1 - 10x_2 - x_3 + 3x_4 = -1, \\ x_1 - 8x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \\ 9x_1 + 6x_2 - 9x_3 + x_4 = -8. \end{align*}$

Perhatikan bahwa, sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi
$2x_1 + 7x_2 + x_3 + 5x_4 = 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (1)$
$5x_1 + x_2 + 10x_3 + 3x_4 = 10, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \ldots (2)$
$x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 8x_4 = 3, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (3)$
$9x_1 + 6x_2 + 2x_3 + x_4 = 3. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (4)$
Dari $(1) + (2) + (3) + (4)$ , diperoleh persamaan $(5)$ :

$\begin{align*} & \qquad \quad 17x_1 + 17x_2 + 17x_3 + 17x_4 = 16 \\ &\iff 6x_1 + 6x_2 + 6x_3 + 6x_4 = 5 \\ &\iff 3x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 8 \\ &\iff x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10. \end{align*}$

Dari $(1) - (5)$ , diperoleh $x_1 + 6x_2 + 4x_4 = 1. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (6)$
Dari $(2) - (5)$ , diperoleh $4x_1 + 9x_3 + 2x_4 = 0. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (7)$
Dari $(3) - (5)$ , diperoleh $2x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 4. \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (8)$
Dari $(4) - (5)$ , diperoleh $8x_1 + 5x_2 + x_3 = 4. \; \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots (9)$
Dari $(6) - (7) - (8) + (9)$ , diperoleh

$\begin{align*} & \qquad \quad 5x_1 + 9x_2 + 6x_4 = 1 \\ &\iff 5x_1 - 2x_2 + 11x_3 - 5x_4 = 1. \end{align*}$ read more

Pembahasan Soal 2 Ring dan Lapangan

Tutorial Rabu, 21 Mei 2025

Soal Suppose that $R$ is an integral domain with identity. Suppose that $I$ and $J$ are ideals in $R$ and that $I=\langle b \rangle$ , where $b \in R$ . Prove that $I+J=R$ if and only if $b+J$ is a unit in the ring $R/J$ .

Pembahasan

Diberikan $R$ daerah integral dengan identitas, $I$ dan $J$ ideal di $R$ , serta $I = \langle b \rangle$ untuk suatu $b \in R$ .

$(\Longrightarrow)$ Diberikan $I+J=R$ . Oleh karena $1_R \in R$ , terdapat elemen $i \in I$ dan $j \in J$ sehingga $i+j=1_R$ . Oleh sebab $I = \langle b \rangle$ , maka dapat dituliskan $i=rb$ untuk suatu $r \in R$ . Akibatnya $rb+j=1_R$ . Diperhatikan bahwa $rb+J=rb+j +J$ Selanjutnya, diperoleh read more

Pembahasan Soal 1 Ring dan Lapangan

Tutorial Rabu, 21 Mei 2025

Soal Misalkan $S = \{1, 2, 3\}$ dan $P(S)$ adalah himpunan kuasa dari $S$ . Didefinisikan dua operasi biner pada $P(S)$ sebagai berikut:
Untuk setiap $A, B \in P(S)$ ,

$A + B = (A \cup B) - (A \cap B), \quad A \cdot B = A \cap B.$

Tunjukkan bahwa $(P(S), +, \cdot)$ merupakan sebuah ring komutatif.

Pembahasan

$P(S) = \{\{\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} .$ Diambil sebarang $X,Y \in P(S)$ . Artinya, $X,Y \subseteq S$ . Diperoleh
$\begin{align*} X+Y=(X \cup Y) - (X \cap Y) \subseteq S. \end{align*}$
Diambil sebarang $X,Y,Z \in P(S)$ . Berlaku
$\begin{align*} (X+Y)+Z&= ((X \cup Y) - (X \cap Y)) + Z\\ &= [((X \cup Y) - (X \cap Y)) \cup Z]\\ &\hspace{0.7cm}-[((X \cup Y) - (X \cap Y)) \cap Z]\\ &=[((X \cup Y) \cap (X \cap Y)^C) \cup Z]\\ &\hspace{0.7cm}-[((X \cup Y) \cap (X \cap Y)^C) \cap Z]\\ &=[(X \cup Y \cup Z) \cap ((X \cap Y)^C \cup Z)]\\ &\hspace{0.7cm}-[((X \cup Y) \cap (X \cap Y)^C) \cap Z]\\ &=[(X\cup Y\cup Z)\cap (X^C\cup Y^C\cup Z)]\\ &\hspace{0.7cm}-[(X\cup Y)\cap (X^C\cup Y^C)\cap Z]\\ &=[( (X\cap Y^C)\cup (X\cap Z)\cup(Y\cap X^C)\cup\\ &\hspace{0.7cm} (Y\cap Z)\cup (Z\cap X^C)\cup (Z\cap Y^C)\cup Z)\cap \\ &\hspace{0.7cm}-\{\}\\ &\hspace{0.7cm}-[((X\cup Y)\cap (X^C\cup Y^C))\cap Z]\\ &\hspace{0.7cm}....\\ &=[(X \cup ((Y \cup Z) \cap (Y \cap Z)^C))]\\ &\hspace{0.7cm}- [X \cap ((Y \cup Z) \cap (Y \cap Z)^C)]\\ &=[(X \cup ((Y \cup Z) - (Y \cap Z)))]\\ &\hspace{0.7cm}- [X \cap ((Y \cup Z) - (Y \cap Z))]\\ &=X+((Y \cup Z) - (Y \cap Z))\\ &=X+(Y+Z) \end{align*}$
Terdapat $\{\} \in P(S)$ , sehingga untuk setiap $X \in P(S)$ , berlaku
$\begin{align*} \{\} + X=(\{\} \cup X)-(\{\}\cap X)=X-\{\}=X\cap P(S)=X , \\ X + \{\} =(X \cup \{\} )-(X \cap \{\})=X-\{\}=X\cap P(S)=X. \end{align*}$
Untuk setiap $X\in P(S)$ , terdapat $X^{-1}=X\in P(S)$ sehingga berlaku
$\begin{align*} X+X^{-1}&=X+X\\ &=(X\cup X)-(X\cap X)\\ &=(X\cup X)\cap(X^C\cup X^C)\\ &=X\cap X^C\\ &=\{\} \end{align*}$

dan

$\begin{align*} X^{-1}+X&=X+X=\{\} \end{align*}$

Untuk setiap $X,Y\in P(S)$ , berlaku

$\begin{align*} X+Y&=(X\cup Y)-(X\cap Y)\\ &=(Y\cup X)-(Y\cap X)\\ &=Y+X .\\ \end{align*}$

Jadi, $(P(S),+)$ merupakan grup komutatif.
Untuk menunjukkan sebuah ring komutatif, dapat dilihat dari tabel Cayley. read more

Pembahasan Soal 7 Induksi Matematika

Tutorial Sabtu, 15 April 2023

File Tayangan

Soal: Buktikan $4 \times 2^n | a^{2^n}-1$ , untuk setiap a bilangan ganjil dan $n \in \mathbb{N}$ .

Pembahasan:

Karena $a$ bilangan ganjil, maka $a$ dapat dinyatakan $2p-1$ , $\forall p \in \mathbb{N}$ . Maka Soal dapat ditulis menjadi $2^{n+2} | (2p-1)^{2^n}-1$ .

Pertama-tama akan ditunjukkan $(2p-1)^{2^k}+1$ adalah bilangan genap.
Bukti : $\forall k \in \mathbb{N}$ , $2^k$ selalu genap sehingga $\forall p \in \mathbb{N}$ $(2p-1)^{2^k}$ Selalu ganjil. Jadi dapat disimpulkan $(2p-1)^{2^k}+1$ bilangan genap, dinyatakan dalam $2y$ .

Selanjutnya permasalahan utama akan dibuktikan benar dengan metode induksi.

Bukti :

Akan dibuktikan benar untuk $n=1$ .

$2^{1+2} | (2p-1)^{2^1}-1 \Leftrightarrow 2^{3} | 4p^2 - 4p$ \Leftrightarrow 2^{3} | 4p(p - 1).$

Terbukti, sebab $p \in \mathbb{N}$ maka $p(p-1)\ge 0$ dan genap.

Asumsikan benar untuk $n=k$ . Jadi

$2^{k+2} | (2p-1)^{2^k}-1.$ read more

Pembahasan Soal 3 Algoritma

Tutorial Selasa, 28 Februari 2023

Soal: Buatlah algoritma mengurutkan berhingga banyak bilangan bulat.

Pembahasan:

Berikut adalah algoritma dalam format LaTeX untuk mengurutkan sebuah himpunan bilangan bulat:

\begin{algorithm}[H] \caption{Mengurutkan Himpunan Bilangan Bulat}

\begin{algorithmic}[1]

\Procedure{Sort}{ $A$ }\Comment{ $A$ : himpunan bilangan bulat}

\State $n \gets$ panjang( $A$ ) \For{ $i \gets 1$ to $n-1$ } \For{ $j \gets 1$ to $n-i$ }

\If{ $A[j] > A[j+1]$ } \State Tukar( $A[j]$ , $A[j+1]$ ) \EndIf \EndFor \EndFor

\EndProcedure

\end{algorithmic}

\end{algorithm}

Penjelasan: read more

Pembahasan Soal 2 Algoritma

Tutorial Selasa, 28 Februari 2023

Soal: Buatlah algoritma penyelesaian persamaan kuadrat.

Pembahasan:

Berikut ini adalah algoritma tersebut dalam format LaTeX.

\begin{algorithm}[H] \caption{Algoritma Penyelesaian Persamaan Kuadrat}

\begin{algorithmic}[1]

\Procedure{SolveQuadratic}{ $a, b, c$ }

\State $D \gets b^2 - 4ac$ \If{ $D > 0$ }

\State $x_1 \gets \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ \State $x_2 \gets \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

\State \textbf{Output}: “Persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda: $x_1 =$ ” $x_1$ dan “ $x_2 =$ ” $x_2$

\ElsIf{ $D = 0$ }

\State $x \gets \frac{-b}{2a}$ \State \textbf{Output}: “Persamaan kuadrat memiliki satu akar ganda: $x =$ ” $x$ read more

1 2 3…7

isnainiuha

Pembahasan Soal 4 Lapangan Galois

Pembahasan Soal 5 Lapangan Galois

Pembahasan Soal 3 Lapangan Galois

Pembahasan Soal 2 Lapangan Galois

Pembahasan Soal 1 Lapangan Galois

Pembahasan Soal 2 Ring dan Lapangan

Pembahasan Soal 1 Ring dan Lapangan

Pembahasan Soal 7 Induksi Matematika

Pembahasan Soal 3 Algoritma

Pembahasan Soal 2 Algoritma

Artikel Terbaru

Komentar