Arsip:

Tutorial

Pembahasan Soal 7 Induksi Matematika

Tutorial Sabtu, 15 April 2023

File Tayangan

Soal: Buktikan 4 \times 2^n | a^{2^n}-1, untuk setiap a bilangan ganjil dan n \in \mathbb{N}.

Pembahasan:

Karena a bilangan ganjil, maka a dapat dinyatakan 2p-1, \forall p \in \mathbb{N}. Maka Soal dapat ditulis menjadi 2^{n+2} | (2p-1)^{2^n}-1.

Pertama-tama akan ditunjukkan (2p-1)^{2^k}+1 adalah bilangan genap.
Bukti : \forall k \in \mathbb{N}, 2^k selalu genap sehingga \forall p \in \mathbb{N} (2p-1)^{2^k} Selalu ganjil. Jadi dapat disimpulkan (2p-1)^{2^k}+1 bilangan genap, dinyatakan dalam 2y.

Selanjutnya permasalahan utama akan dibuktikan benar dengan metode induksi.

Bukti :

Akan dibuktikan benar untuk n=1.

    \[2^{1+2} | (2p-1)^{2^1}-1 \Leftrightarrow 2^{3} | 4p^2 - 4p$ \Leftrightarrow 2^{3} | 4p(p - 1).\]

Terbukti, sebab p \in \mathbb{N} maka p(p-1)\ge 0 dan genap.

  • Asumsikan benar untuk n=k. Jadi

        \[2^{k+2} | (2p-1)^{2^k}-1.\] read more

    • Pembahasan Soal 3 Algoritma

    Tutorial Selasa, 28 Februari 2023

    Soal: Buatlah algoritma mengurutkan berhingga banyak bilangan bulat.

    Pembahasan:

    Berikut adalah algoritma dalam format LaTeX untuk mengurutkan sebuah himpunan bilangan bulat:

    \begin{algorithm}[H] \caption{Mengurutkan Himpunan Bilangan Bulat}

    \begin{algorithmic}[1]

    \Procedure{Sort}{A}\Comment{A: himpunan bilangan bulat}

    \State n \gets panjang(A) \For{i \gets 1 to n-1} \For{j \gets 1 to n-i}

    \If{A[j] > A[j+1]} \State Tukar(A[j], A[j+1]) \EndIf \EndFor \EndFor

    \EndProcedure

    \end{algorithmic}

    \end{algorithm}

    Penjelasan: read more

    Pembahasan Soal 2 Algoritma

    Tutorial Selasa, 28 Februari 2023

    Soal: Buatlah algoritma penyelesaian persamaan kuadrat.

    Pembahasan:

    Berikut ini adalah algoritma tersebut dalam format LaTeX.

    \begin{algorithm}[H] \caption{Algoritma Penyelesaian Persamaan Kuadrat}

    \begin{algorithmic}[1]

    \Procedure{SolveQuadratic}{a, b, c}

    \State D \gets b^2 - 4ac \If{D > 0}

    \State x_1 \gets \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \State x_2 \gets \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

    \State \textbf{Output}: “Persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda: x_1 =” x_1 dan “x_2 =” x_2

    \ElsIf{D = 0}

    \State x \gets \frac{-b}{2a} \State \textbf{Output}: “Persamaan kuadrat memiliki satu akar ganda: x =” x read more

    Pembahasan Soal 1 Algoritma

    Tutorial Selasa, 28 Februari 2023

    Soal: Buatlah algoritma bubble sort.

    Pembahasan:

    Bubble sort adalah algoritma sederhana untuk mengurutkan daftar data. Cara kerja algoritma ini adalah dengan membandingkan pasangan elemen yang bersebelahan dalam daftar, dan menukar posisi mereka jika mereka tidak dalam urutan yang benar. Proses ini diulang secara berulang-ulang hingga seluruh elemen terurut dengan benar.

    Berikut ini adalah pseudocode dari algoritma bubble sort dalam format LaTeX:

    \begin{algorithmic}[1]

    \Procedure{BubbleSort}{A} \For{i \gets 1 to n-1} read more

    Rekaman Tutorial 2022 oleh Fahreezan Sheeraz Diyaldin

    Tutorial Jumat, 10 Juni 2022

    Pada tahun 2022, pelaksanaan kuliah matematika diskrit dibagi dalam 2 kelas. Pelaksanaan tutorial juga dibagi menjadi dua kelas dengan dua tutor yang berbeda. Pada halaman ini, rekaman tutorial yang diberikan adalah tutorial pada salah satu kelas yang pelaksanaannya dilakukan secara full daring.

    Sebelum UTS:

    Rekaman Tutorial pertemuan ke-1 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin)

    File Coretan

    Rekaman Tutorial pertemuan ke-2 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin)

    File Coretan

    Rekaman Tutorial pertemuan ke-3 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin) read more

    Pembahasan Soal 11 Fungsi Pembangkit

    Tutorial Sabtu, 23 April 2022

    Soal

    Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

    Pembahasan

    Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

    (1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

    Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

        \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

    Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

        \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

        \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

    Pembahasan Soal 2 Barisan Fibonacci

    Tutorial Sabtu, 23 April 2022

    Soal

    Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

    Pembahasan

    Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

    (1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

    Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

        \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

    Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

        \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

        \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

    Pembahasan Soal 8 Relasi Rekurensi

    Tutorial Sabtu, 23 April 2022

    Soal

    Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

    Pembahasan

    Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more

    Pembahasan Soal 10 Fungsi Pembangkit

    Tutorial Sabtu, 23 April 2022

    Soal

    Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

    Pembahasan

    Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more