Arsip:

Tutorial

Pembahasan Soal 8 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of ways to select r objects of n different kinds if we must select at least one object of each kind.

Pembahasan

Karena perlu dipilih setidaknya satu objek dari setiap jenis, masing-masing dari n jenis objek menyumbang faktor (x + x^2 + x^3 + \dots) ke fungsi pembangkit G(x) untuk barisan \{ a_r \}, dengan a_r adalah banyaknya jumlah cara untuk memilih r objek dari n jenis yang berbeda jika dibutuhkan setidaknya satu objek dari setiap jenis. Oleh karena itu, G(x) = {(x + x^2 + x^3 + \dots)}^n = x^n{(1 + x + x^2 + \dots)}^n = \dfrac{x^n}{{(1 - x)}^n}. Dengan menggunakan teorema binomial yang diperluas dan contoh 2 yang memberikan rumus sederhana untuk \binom{-n}{k} = {(-1)}^rC(n + r - 1, r), diperoleh read more

Pembahasan Soal 7 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of r-combinations from a set with n elements when repetition of elements is allowed.

Pembahasan

Misalkan G(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{ a_r \}, di mana a_r sama dengan banyaknya jumlah r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen dengan pengulangan yang diperbolehkan. Yaitu, G(x) = \sum_{r = 0} ^{\infty} a_rx^r. Karena kita dapat memilih sejumlah anggota tertentu dari himpunan dengan n elemen ketika kita membentuk kombinasi-r dengan pengulangan yang diperbolehkan, masing-masing dari n elemen berkontribusi (1 + x + x^2 + x^3 + \dots) pada ekspansi perkalian untuk G(x). Setiap elemen memberikan kontribusi faktor tersebut karena dapat dipilih nol kali, satu kali, dua kali, tiga kali, dan seterusnya, ketika r-kombinasi terbentuk (dengan total r elemen yang dipilih). read more

Pembahasan Soal 6 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of k-combinations of a set with n elements. Assume that the binomial theorem has already been established.

Pembahasan

Masing-masing dari n elemen dalam himpunan menyumbangkan suku (1 + x) ke fungsi pembangkit f(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_kx^k. Di sini f(x) adalah fungsi pembangkit untuk \{ a_k \}, di mana a_k menyatakan jumlah banyaknya k-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen. Karena itu, f(x) = (1 + x)^n. Tetapi dengan teorema binomial, didapatkan f(x) = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}x^k, dengan \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}. Oleh karena itu, C(n, k), banyaknya jumlah k-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen, adalah \dfrac{n!}{k!(n - k)!}. read more

Pembahasan Soal 5 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Gunakan fungsi pembangkit untuk mencari banyaknya kombinasi token bernilai 1 dollar, 2 dollar, and 5 dollar  untuk membayar barang seharga r dollar di mesin penjual (baik memperhatikan urutan, maupun tidak memperhatikan urutan).

Pembahasan

Pertimbangkan kasus ketika urutan token yang dimasukkan tidak menjadi masalah. Di sini, yang dipedulikan hanyalah jumlah setiap token yang digunakan untuk menghasilkan total r dolar. Karena kita dapat menggunakan sejumlah token 1 dollar, sejumlah token 2 dollar, dan sejumlah token 5 dollar, jawabannya adalah koefisien x^r dalam fungsi pembangkit read more

Pembahasan Soal 4 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Berapa banyak cara delapan biskuit dapat diberikan ke 3 anak sehingga setiap anak menerima minimal 2 biskuit dan tidak lebih dari 4 biskuit?

Pembahasan

Karena setiap anak menerima setidaknya paling sedikit dua tetapi tidak lebih dari empat kue, untuk setiap anak ada faktor yang sama dengan (x^2 + x^3 + x^4) dalam fungsi pembangkit untuk barisan \{ c_n \}, di mana c_n adalah jumlah cara untuk membagikan sebanyak n buah kue. Karena ada tiga anak, maka fungsi pembangkit ini adalah {(x^2 + x^3 + x^4)}^3. Kita membutuhkan koefisien x^8 dalam hasil kali ini. Alasannya adalah bahwa suku x^8 dalam ekspansi sesuai dengan cara pemilihan tiga suku, dengan satu dari setiap faktor, yang memiliki pangkat yang ditambahkan hingga berjumlah 8. read more

Pembahasan Soal 3 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Carilah banyaknya solusi bulat dari e_1 + e_2 + e_3 = 17, dengan e_1, e_2, and e_3 bilangan bulat tak negatif yang memenuhi 2 \leq e_1 \leq 5, 3 \leq e_2 \leq 6, dan 4 \leq e_3 \leq 7.

Pembahasan

Banyaknya solusi dengan batasan-batasan yang diberikan adalah koefisien dari x^{17} dalam perluasan (x^2 + x^3 + x^4 + x^5)(x^3 + x^4 + x^5 + x^6)(x^4 + x^5 + x^6 + x^7). Hal ini terjadi karena kita memperoleh suku yang sama dengan x^{17} pada hasil kali dengan memilih suku pada jumlah pertama x^{e_1}, suku pada jumlah kedua x^{e_2}, dan suku pada jumlah ketiga x^{e_3}, di mana eksponen e_1, e_2, dan e_3 memenuhi persamaan e_1 + e_2 + e_3 = 17 dan batasan-batasan yang diberikan. Tidak sulit untuk melihat bahwa koefisien x^{17} pada hasil kali ini adalah 3. Oleh karena itu, ada tiga solusi. read more

Pembahasan Soal 2 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Apakah fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1?

Pembahasan

Fungsi pembangkit dari 1, 1, 1, 1, 1, 1 adalah 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5. Sehingga dengan teorema jika a dan r adalah bilangan real dan r \neq 0, maka

    \begin{equation*} \sum_{j = 0}^{n} ar^j = \begin{cases} \dfrac{ar^{n + 1} - a}{r - 1} & \text{jika $r \neq 1$,} (n + 1)a & \text{jika $r = 1$.} \end{cases} \end{equation*}

didapatkan \dfrac{x^6 - 1}{x - 1} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 dengan x \neq 1. Akibatnya, G(x) = \dfrac{x^6 - 1}{x - 1} adalah fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1.

[Karena pangkat dari x hanya pemegang tempat untuk suku-suku barisan dalam fungsi pembangkit, kita tidak perlu khawatir bahwa G(1) tidak terdefinisi.].

Credit: Ramadhani Latief Firmansyah read more

Pembahasan Soal 1 Fungsi Pembangkit

Tutorial Jumat, 29 Oktober 2021

Soal Diberikan barisan (a_{n}) yang memenuhi relasi rekurensi

    \begin{equation*} a_{n}=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n! \end{equation*}

untuk setiap n\geq 1 dan dengan suku awal a_{0}=6. Dengan menggunakan fungsi pembangkit, tentukan formula untuk a_{n}.

Pembahasan

Dibentuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0} dengan

    \begin{equation*} b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 0.
Diperhatikan bahwa untuk n\geq 1 berlaku

    \begin{equation*} \begin{split} a_{n}&=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ (n!)^{2}b_{n}&=n^{2}((n-1)!)^{2}b_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ n!b_{n}&=n!b_{n-1}+(n-1)\\ b_{n}&=b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!} \end{split} \end{equation*}

dan b_{0}=a_{0}=6.
\newline
Selanjutnya, misalkan B(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0}. Dengan demikian

    \begin{equation*} \begin{split} B(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=b_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}\right)x^{n-1}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+xB(x)+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-(\displaystyle e^{x}-1)\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-e^{x}+1\\ (1-x)B(x)&=7+(x-1)e^{x}\\ B(x)&=\displaystyle \frac{7}{1-x}-e^{x} \end{split} \end{equation*}

Dengan demikian diperoleh b_{n}=7-\displaystyle \frac{1}{n!} untuk setiap n\geq 0.
\newline
Mengingat read more