Arsip:

Tutorial

Pembahasan Soal 1 Algoritma

Tutorial Selasa, 28 Februari 2023

Soal: Buatlah algoritma bubble sort.

Pembahasan:

Bubble sort adalah algoritma sederhana untuk mengurutkan daftar data. Cara kerja algoritma ini adalah dengan membandingkan pasangan elemen yang bersebelahan dalam daftar, dan menukar posisi mereka jika mereka tidak dalam urutan yang benar. Proses ini diulang secara berulang-ulang hingga seluruh elemen terurut dengan benar.

Berikut ini adalah pseudocode dari algoritma bubble sort dalam format LaTeX:

\begin{algorithmic}[1]

\Procedure{BubbleSort}{A} \For{i \gets 1 to n-1} read more

Rekaman Tutorial 2022 oleh Fahreezan Sheeraz Diyaldin

Tutorial Jumat, 10 Juni 2022

Pada tahun 2022, pelaksanaan kuliah matematika diskrit dibagi dalam 2 kelas. Pelaksanaan tutorial juga dibagi menjadi dua kelas dengan dua tutor yang berbeda. Pada halaman ini, rekaman tutorial yang diberikan adalah tutorial pada salah satu kelas yang pelaksanaannya dilakukan secara full daring.

Sebelum UTS:

Rekaman Tutorial pertemuan ke-1 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin)

File Coretan

Rekaman Tutorial pertemuan ke-2 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin)

File Coretan

Rekaman Tutorial pertemuan ke-3 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin) read more

Pembahasan Soal 11 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

Pembahasan

Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

(1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

    \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

    \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

Pembahasan Soal 2 Barisan Fibonacci

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

Pembahasan

Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

(1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

    \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

    \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

Pembahasan Soal 8 Relasi Rekurensi

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

Pembahasan

Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more

Pembahasan Soal 10 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

Pembahasan

Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more

Pembahasan Soal 8 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of ways to select r objects of n different kinds if we must select at least one object of each kind.

Pembahasan

Karena perlu dipilih setidaknya satu objek dari setiap jenis, masing-masing dari n jenis objek menyumbang faktor (x + x^2 + x^3 + \dots) ke fungsi pembangkit G(x) untuk barisan \{ a_r \}, dengan a_r adalah banyaknya jumlah cara untuk memilih r objek dari n jenis yang berbeda jika dibutuhkan setidaknya satu objek dari setiap jenis. Oleh karena itu, G(x) = {(x + x^2 + x^3 + \dots)}^n = x^n{(1 + x + x^2 + \dots)}^n = \dfrac{x^n}{{(1 - x)}^n}. Dengan menggunakan teorema binomial yang diperluas dan contoh 2 yang memberikan rumus sederhana untuk \binom{-n}{k} = {(-1)}^rC(n + r - 1, r), diperoleh read more

Pembahasan Soal 7 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of r-combinations from a set with n elements when repetition of elements is allowed.

Pembahasan

Misalkan G(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{ a_r \}, di mana a_r sama dengan banyaknya jumlah r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen dengan pengulangan yang diperbolehkan. Yaitu, G(x) = \sum_{r = 0} ^{\infty} a_rx^r. Karena kita dapat memilih sejumlah anggota tertentu dari himpunan dengan n elemen ketika kita membentuk kombinasi-r dengan pengulangan yang diperbolehkan, masing-masing dari n elemen berkontribusi (1 + x + x^2 + x^3 + \dots) pada ekspansi perkalian untuk G(x). Setiap elemen memberikan kontribusi faktor tersebut karena dapat dipilih nol kali, satu kali, dua kali, tiga kali, dan seterusnya, ketika r-kombinasi terbentuk (dengan total r elemen yang dipilih). read more