• UGM
  • IT Center
  • Bahasa Indonesia
    • English
    • Bahasa Indonesia
Universitas Gadjah Mada Universitas Gadjah Mada
Menara Ilmu Matematika Diskrit
  • BERANDA
  • TENTANG
    • OVERVIEW WEBSITE
    • TIM PENGEMBANG
  • Materi
    • LOGIKA MATEMATIKA
    • PEMBUKTIAN MATEMATIKA
    • HIMPUNAN
    • RELASI
    • FUNGSI DISKRIT NUMERIK
    • INDUKSI MATEMATIKA
    • PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI
    • PERMUTASI DAN KOMBINASI
    • TEOREMA BINOMIAL
    • PRINSIP SARANG MERPATI
    • ALGORITMA
    • FUNGSI PEMBANGKIT
    • RELASI REKURENSI
    • BILANGAN FIBONACCI
    • POSET
    • LATIS
    • ALJABAR BOOLE
    • PERSAMAAN DIOPHANTINE
    • RING DAN LAPANGAN
    • LAPANGAN GALOIS
    • GEOMETRI BIDANG HINGGA
    • PERSEGI LATIN
    • BALANCED INCOMPLETE BLOCK DESIGN
    • STEINER TRIPLE SYSTEM
    • TEORI BILANGAN DASAR
    • TEORI GRAF
    • POHON
  • Tutorial
    • Rekaman Latihan Soal
    • Tutorial Logika Matematika
    • Tutorial Pembuktian Matematika
    • Tutorial Himpunan
    • Tutorial Relasi
    • Tutorial Fungsi Diskrit Numerik
    • Tutorial Induksi Matematika
    • Tutorial Prinsip Inklusi dan Eksklusi
    • Tutorial Permutasi dan Kombinasi
    • Tutorial Teorema Binomial
    • Tutorial Prinsip Sarang Merpati
    • Tutorial Algoritma
    • Tutorial Fungsi Pembangkit
    • Tutorial Relasi Rekurensi
    • Tutorial Bilangan Fibonacci
    • Tutorial Poset
    • Tutorial Latis
    • Tutorial Aljabar Boole
    • Tutorial Persamaan Diophantine
    • Tutorial Ring dan Lapangan
    • Tutorial Lapangan Galois
    • Tutorial Geometri Bidang Hingga
    • Tutorial Persegi Latin
    • Tutorial Balanced Incomplete Block Design
    • Tutorial Steiner Triple System
    • Tutorial Teori Bilangan Dasar
    • Tutorial Teori Graf
    • Tutorial Pohon
  • PENELITIAN TERKAIT
    • TEORI PARTISI
    • TEORI GRAF
    • KRIPTOGRAFI
    • TEORI KODING
    • ALJABAR LINEAR
  • KONTAK KAMI
  • Beranda
  • Tutorial
  • page. 2
Arsip:

Tutorial

Pembahasan Soal 1 Algoritma

Tutorial Selasa, 28 Februari 2023

Soal: Buatlah algoritma bubble sort.

Pembahasan:

Bubble sort adalah algoritma sederhana untuk mengurutkan daftar data. Cara kerja algoritma ini adalah dengan membandingkan pasangan elemen yang bersebelahan dalam daftar, dan menukar posisi mereka jika mereka tidak dalam urutan yang benar. Proses ini diulang secara berulang-ulang hingga seluruh elemen terurut dengan benar.

Berikut ini adalah pseudocode dari algoritma bubble sort dalam format LaTeX:

\begin{algorithmic}[1]

\Procedure{BubbleSort}{A} \For{i \gets 1 to n-1} read more

Rekaman Tutorial 2022 oleh Fahreezan Sheeraz Diyaldin

Tutorial Jumat, 10 Juni 2022

Pada tahun 2022, pelaksanaan kuliah matematika diskrit dibagi dalam 2 kelas. Pelaksanaan tutorial juga dibagi menjadi dua kelas dengan dua tutor yang berbeda. Pada halaman ini, rekaman tutorial yang diberikan adalah tutorial pada salah satu kelas yang pelaksanaannya dilakukan secara full daring.

Sebelum UTS:

Rekaman Tutorial pertemuan ke-1 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin)

File Coretan

Rekaman Tutorial pertemuan ke-2 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin)

File Coretan

Rekaman Tutorial pertemuan ke-3 tahun 2022 (Fahreezan Sheeraz Diyaldin) read more

Pembahasan Soal 11 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

Pembahasan

Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

(1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

    \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

    \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

Pembahasan Soal 2 Barisan Fibonacci

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Tentukan bentuk umum dari barisan Fibonacci.

Pembahasan

Barisan Fibonacci mempunyai bentuk yang dibentuk dari fungsi rekursif berikut, a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, dengan n \geq 2, a_0 = 0, a_1 = 1. Konstruksi fungsi pembangkit untuk barisan Fibonacci sebagai berikut

(1)   \begin{align*} G(x) & = a_0 & + & a_1x^1 & + & a_2x^2 & + & a_3x^3 & + & a_4x^4 & + & \dots \\ xG(x) & = & & a_0x^1 & + & a_1x^2 & + & a_2x^3 & + & a_3x^4 & + & \dots \\ x^2G(x) & = & & & & a_0x^2 & + & a_1x^3 & + & a_2x^4 & + & \dots \end{align*}

Dari persamaan (1) dikurangi persamaan (2) dan (3), diperoleh

    \begin{align*} G(x) - xG(x) - x^2G(x) & = a_0 + (a_1 - a_0)x^1 + (a_2 - a_1 - a_0)x^2 + \\ &\quad (a_3 - a_2 - a_1)x^3 + (a_4 - a_3 - a_2)x^4 + \dots \\ (1 - x - x^2)G(x) & = 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots \\ G(x) & = \dfrac{x}{1 - x - x^2} \end{align*}

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, G(x) dapat dituliskan sebagai

    \begin{align*} \dfrac{x}{1 - x - x^2} & = \dfrac{x}{\dfrac{5}{4} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \dfrac{x}{\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} + \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}} - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2} - x - \dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

    \begin{align*} \dfrac{x}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} & = \dfrac{A}{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x} + \dfrac{B}{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x} \\ & = \dfrac{A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right)\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right)} \end{align*}

Sehingga, x = A\left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - x\right) + B\left(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} + x\right). Dengan memasukkan nilai x = -\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} maka akan didapatkan read more

Pembahasan Soal 8 Relasi Rekurensi

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

Pembahasan

Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more

Pembahasan Soal 7 Relasi Rekurensi

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Pembahasan Soal 10 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Suppose that a valid codeword is an n-digit number in decimal notation containing an even number of 0s. Let a_n denote the number of valid codewords of length n. In Example 3 we showed that the sequence \{ a_n \} satisfies the recurrence relation a_n = 8a_{n - 1} + 10^{n - 1} and the initial condition a_1 = 9. Use generating functions to find an explicit formula for a_n.

Pembahasan

Untuk membuat pekerjaan dengan fungsi pembangkit lebih sederhana dan mudah, diperluas barisan ini dengan menetapkan a_0 = 1; ketika ditetapkan nilai ini ke a_0 dan menggunakan relasi rekurensi (perulangan), didapatkan a_1 = 8a_0 + 10^0 = 8 + 1 = 9, yang konsisten dengan kondisi awal. (Hal ini juga masuk akal karena ada satu kata kode dengan panjang 0—string kosong.) Dengan mengalikan kedua sisi relasi rekurensi (pengulangan) dengan x^n akan didapatkan a_nx^n = 8a_{n - 1}x^n + 10^{n - 1}x^n. read more

Pembahasan Soal 9 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Pembahasan Soal 8 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of ways to select r objects of n different kinds if we must select at least one object of each kind.

Pembahasan

Karena perlu dipilih setidaknya satu objek dari setiap jenis, masing-masing dari n jenis objek menyumbang faktor (x + x^2 + x^3 + \dots) ke fungsi pembangkit G(x) untuk barisan \{ a_r \}, dengan a_r adalah banyaknya jumlah cara untuk memilih r objek dari n jenis yang berbeda jika dibutuhkan setidaknya satu objek dari setiap jenis. Oleh karena itu, G(x) = {(x + x^2 + x^3 + \dots)}^n = x^n{(1 + x + x^2 + \dots)}^n = \dfrac{x^n}{{(1 - x)}^n}. Dengan menggunakan teorema binomial yang diperluas dan contoh 2 yang memberikan rumus sederhana untuk \binom{-n}{k} = {(-1)}^rC(n + r - 1, r), diperoleh read more

Pembahasan Soal 7 Fungsi Pembangkit

Tutorial Sabtu, 23 April 2022

Soal

Use generating functions to find the number of r-combinations from a set with n elements when repetition of elements is allowed.

Pembahasan

Misalkan G(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{ a_r \}, di mana a_r sama dengan banyaknya jumlah r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n elemen dengan pengulangan yang diperbolehkan. Yaitu, G(x) = \sum_{r = 0} ^{\infty} a_rx^r. Karena kita dapat memilih sejumlah anggota tertentu dari himpunan dengan n elemen ketika kita membentuk kombinasi-r dengan pengulangan yang diperbolehkan, masing-masing dari n elemen berkontribusi (1 + x + x^2 + x^3 + \dots) pada ekspansi perkalian untuk G(x). Setiap elemen memberikan kontribusi faktor tersebut karena dapat dipilih nol kali, satu kali, dua kali, tiga kali, dan seterusnya, ketika r-kombinasi terbentuk (dengan total r elemen yang dipilih). read more

1234…6

Artikel Terbaru

  • Pembahasan Soal 4 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 5 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 3 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 2 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 1 Lapangan Galois

Komentar

  • jiii pada Pembahasan Soal 1 Prinsip Inklusi-Eksklusi
  • jiii pada Pembahasan Soal 1 Prinsip Inklusi-Eksklusi
Universitas Gadjah Mada

Kanal Pengetahuan dan Menara Ilmu

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Gadjah Mada

Sekip Utara BLS 21 Yogyakarta

© Universitas Gadjah Mada

KEBIJAKAN PRIVASI/PRIVACY POLICY

[EN] We use cookies to help our viewer get the best experience on our website. -- [ID] Kami menggunakan cookie untuk membantu pengunjung kami mendapatkan pengalaman terbaik di situs web kami.I Agree / Saya Setuju