[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal Diberikan barisan $\{a_{n}\}$ dengan relasi rekurensi $a_{n + 2} = 5a_{n+1}-4a_{n}$ untuk $n\geq 0$ dan $a_{0} = 1$, $a_{2}=7$. Tentukan formula untuk $a_n$.

Jawaban

Persamaan karakteristik yang dihasilkan adalah $p(x) = x^{2}-5x+4$. Diperoleh $k = 2$, $m_{1} =m_{2}= 1$, $r_{1} = 1$ dan $r_{2}=4$. Jadi formula untuk $a_n$ adalah
\[ a_{n} = A_{1}1^{n}+A_{2}4^{n} \]
Dengan mensubstitusi nilai awal akan dihasilkan
\begin{equation*}
\begin{split}
1 = a_{0} &= A_{1}+A_{2}\\
7= a_{1}&=A_{1}+4A_{2}.
\end{split}
\end{equation*}
Diperoleh
\begin{equation*}
A_{1}=-1~\text{dan}~A_{2}=2.
\end{equation*}
Jadi $a_{n}=(-1)\cdot1^{n}+2\cdot 4^{n}=2\cdot 4^{n}-1$ untuk setiap $n\geq 0.$ read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal Diambil barisan Fibonacci $\{ F_{n} \} = 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$. Tentukan formula untuk $F_n$!

Pembahasan

Perhatikan bahwa relasi rekurensi yang dipenuhi adalah $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$. Selanjutnya dapat dicek juga persamaan polinomial yang dipenuhi adalah
\[ x^{2} – x – 1  .\]
Jadi ketika dihitung akar-akar karakteristiknya akan menghasilkan
\[ r_{1}, r_{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 – 4(-1)}}{2} = \frac{1}{2} \pm\frac{\sqrt{5}}{2} .\]
Jadi $k = 2$ dengan $m_{1} = 1 = m_{2}$. Jika dikembalikan ke rumus umumnya menghasilkan
\[ F_{n} = A_{1}r_{1}^{n} + A_{2}r_{2}^{n} = A_{1}\left(\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} + A_{2}\left(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} .\] read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan barisan $\{a_{n}\}$ dengan relasi rekurensi $a_{n + 1} = 2a_{n}$ dan $a_{0} = 1$. Carilah formula dari $a_n$!

Pembahasan:

Persamaan karakteristik $p(x) = x – 2$. Diperoleh $k = 1$, $m_{1} = 1$, dan $r_{1} = 2$. Jadi,

\[ a_{n} = A_{1}2^{n} .\]
Dari nilai awal ketika disubstitusi diperoleh
\[ n = 0 \mapsto 1 = a_{0} = A_{1}2^{0} \Longrightarrow A_{1} = 1 .\]
Hal ini mengakibatkan formula untuk $a_n$ adalah

\[ a_{n} = 1\cdot 2^{n} = 2^{n} \] read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diketahui $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Untuk masing-masing $i=1,2,\ldots,2021,$
$$f_{i} : A \rightarrow A $$
fungsi bijektif. Apakah benar terdapat $1\leq i<j<k\leq 2021$ yang memenuhi $f_{i}=f_{j}=f_{k}?$ Jelaskan!

Pembahasan:

Diketahui $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Untuk masing-masing $i=1,2,\ldots,2021,$
$$f_{i} : A \rightarrow A$$
fungsi bijektif.

Karena $f_{i} : A \rightarrow A$ fungsi bijektif, maka ada sebanyak $6!=720$ kemungkinan pemetaan yang berbeda dari domain ke kodomain. Andaikan terdapat $i,j,k$ sedemikian sehingga $1\leq i<j<k\leq 2021.$ Maka banyaknya fungsi pemetaan yang akan memetakan ke tempat yang sama ada sebanyak $2\times 6! + 1 = 1441.$ Dengan menggunakan prinsip sarang burung ada setidaknya $\lceil \frac{1441}{720}\rceil=3$ fungsi yang melakukan pemetaan yang sama. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan himpunan $$\displaystyle A = \Big\{a_{n}|a_{n} = \binom{2021}{n},n=0,1,2,\ldots,1010\Big\}.$$ Buktikkan bahwa ada sedikitnya $253$ anggota $A$ yang mempunyai sisa yang sama ketika dibagi $4$.

Pembahasan:

Misal $A_{i}$ adalah himpunan yang berisikan bilangan yang bersisa $i$ jika dibagi $4$, dengan $A_{i} \subseteq A,$ $\forall i = 0,1,2,3$.
Katakan $A$ sebagai kumpulan merpati dengan $|A|=1010$ dan $A_{i}$ sebagai sangkar. Maka berdasarkan prinsip sarang burung, satu sangkar paling sedikit berisi $\lceil \frac{1010}{4}\rceil = 253$ merpati. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan himpunan $A \subset \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dengan $1\in A$ dan $|A| = 5$
1. Buktikkan bahwa pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $2$;
2. Buktikkan bahwa pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $3$;
3. Selidiki apakah pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $6$. Jika tidak, berikan penyangkalnya;
4. Jika diberikan himpunan $B \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dengan $1\in B$ dan $|B| = n.$ Tentukan bilangan terkecil $n$ sehingga pasti ada dua anggota (berbeda) dari $B$ yang jumlahnya habis dibagi $6$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan himpunan $A$ yang terdiri atas $20$ bilangan yang diambil dari himpunan $S=\{1,4,7,\ldots,100\}$. Buktikkan bahwa setidaknya ada $2$ bilangan yang dipilih dari $A$ berjumlah $104$.

Pembahasan:

Dengan melihat pola dari himpunan $S$, jelas bahwa $S$ membentuk barisan $a_{n}=3n-2,\forall n \in \{1,2,3,\ldots,34\}$. Jika $a_{i}$ dan $a_{j}$ adalah dua buah bilangan yang dipilih dari $S$ yang memiliki jumlah $104$, maka diperoleh \[3i-2+3j-2=140 \iff i+j=36 .\]
Artinya, pernyataan pada soal akan ekuivalen dengan menunjukkan terdapat $20$ bilangan yang dipilih dari $\{1,2,3,\ldots,34\}$ maka ada $2$ bilangan yang jumlahnya $36$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Terdapat $51$ bilangan yang dipilih dari bilangan bulat antara $1$ dan $100$ secara inklusif. Buktikkan bahwa terdapat $2$ bilangan yang dipilih adalah berurutan.

Pembahasan:

Dari $100$ bilangan tersebut, akan dibagi menjadi $50$ partisi, yaitu $\{1, 2\}, \{3, 4\},\ldots,\{99, 100\}$ sebagai sarang merpati. Selanjutnya, dipilih $51$ bilangan sebagai merpati. Dengan menggunakan prinsip sangkar burung, maka terdapat $\lceil \frac{51}{50} \rceil =2 $ bilangan yang berurutan. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

File Tayangan

[latexpage]

Soal: 

Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan $\{1, 2,\ldots, 9\}$ dimana paling tidak terdapat satu bilangan ganjil yang berada pada urutan aslinya.

Contoh : angka $1$ diletakan pada urutan pertama, angka $2$ diletakan pada urutan kedua.

Pembahasan:

Petama-tama, dipilih satu bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{1} = 5$ cara dan permutasikan terhadap $8$ bilangan lainnya, diperoleh $8!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $5\times 8!$. Dipilih dua bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{2} = 10$ cara dan permutasikan terhadap $7$ bilangan lainnya, diperoleh $7!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $10\times7!$.
Selanjutnya, dipilih tiga bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{3} = 10$ cara dan permutasikan terhadap $6$ bilangan lainnya, diperoleh $7!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $10\times 6!$. Dipilih empat bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{4} = 5$ cara dan permutasikan terhadap $5$ bilangan lainnya, diperoleh $5!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $5\times 5!$. Dipilih lima bilangan ganjil dan diletakan kedalam urutan aslinya, diperoleh banyaknya cara yaitu $\binom{5}{5} = 1$ cara dan permutasikan terhadap $4$ bilangan lainnya, diperoleh $4!$ cara, dengan prinsip permutasi perkalian didapat total caranya yaitu $1\times4!$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

File Tayangan

[latexpage]

Soal: A bakery sells chocolate, cinnamon, and plain doughnuts and at a particular time has $6$ chocolate, $6$ cinnamon, and $3$ plain. If a box contains $12$ doughnuts, how many different option are there for a box of doughnuts?

Pembahasan:

Dari informasi pada soal, didapat multiset $T=\{6\cdot x,\cdot y,3\cdot z \}$, dengan $x$ adalah coklat, $y$ adalah cinnamon, $z$ plain. Akan dicari banyaknya solusi dari \[x+y+z=12\] dengan $x\leq6,y\leq6,z\leq3 .$
Dinotasikan
\begin{align*}
\begin{cases}
A = \{x\in\mathbb{Z}|x+y+z=12,x\geq 7\} \\
B = \{ y\in\mathbb{Z}|x+y+z=12, y\geq 7\} \\
C = \{z\in\mathbb{Z}|x+y+z=12,z\geq 4\} \\
\end{cases}
\end{align*} read more