FUNGSI PEMBANGKIT

Download Tayangan

Secara umum, deret pangkat formal

    \[ \displaystyle \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}x^{i} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots \]

disebut deret pangkat pembangkit (generating series) barisan (a_{i})_{i \geq 0}. Sebagai contoh, deret pangkat pembangun barisan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots adalah

    \[ 1 + x + 2x^{2} + 3x^{3} + 5x^{4} + 8x^{5} + 13x^{6} + 21x^{7} + \cdots \]

Contoh lain, barisan yang memiliki deret pangkat pembangkit

    \[ 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{8}x^{3} + \frac{1}{16}x^{4} - \cdots \]

adalah

    \[ 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots .\]

Barisan tak hingga (a_{n})_{n \geq 0} dengan suku-suku 1, -3, 4, -6, 9, \ldots, -24, 41, \ldots tidak mungkin ditentukan -24 suku ke berapa, meskipun dapat disimpulkan suku ganjil. Dengan ekpsresi polinomial

    \[ 1 - 3x + 4x^{2} - 6x^{3} + 9x^{4} + \cdots - 24x^{15} + 41x^{16} - \cdots \]

diketahui -24 merupakan suku ke 15, yaitu a_{15} = -24. Untuk mempermudah bisa ditulis

    \[ 1_{0}, -3_{1}, 4_{2}, -6_{3}, 9_{4}, \ldots, -24_{15}, 41_{16}, \ldots \]

Berbeda dengan barisan

    \[ 1, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2\sqrt{2}}, \ldots , -\frac{1}{2^{20}\sqrt{2}}, \frac{1}{2^{21}}, \ldots \]

bilangan -\frac{1}{2^{20}\sqrt{2}} merupakan suku ke-41.

Selanjutnya akan dibahas definisi dari fungsi pembangkit. Diberikan barisan (a_{n})_{n \geq 0} dengan deret pembangkit

    \[ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{n}x^{n} + \cdots. \]

Jika deret pembangkit konvergen ke fungsi f(x), maka f(x) disebut {\bf fungsi pembangkit} (a_{n})_{n \geq 0}.

Sebagai contoh, dapat diperhatikan kembali Deret Maclaurin pada kalkulus. Perhatikan bahwa barisan (a_{n})_{n \geq 0} \doteq 1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \ldots, \frac{1}{n!}, \ldots memiliki deret pembangkit

    \[ 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots \]

yang konvergen ke e^{x}. Dikatakan e^{x} fungsi pembangkit barisan (a_{n})_{n \geq 0}
Contoh selanjutnya adalah barisan (b_{n})_{n \geq 0} \doteq 1, -1, 1, -1, \ldots, (-1)^{n}, \ldots memiliki deret pembangkit

    \[ 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + \cdots + (-1)^{n}x^{n} + \cdots \]

yang konvergen ke \frac{1}{x + 1}. Fungsi \frac{1}{x + 1} fungsi pembangkit (b_{n})_{n \geq 0}.

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Fungsi Pembangkit