[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]
[latexpage]
Secara umum, deret pangkat formal
\[ \displaystyle \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}x^{i} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots \] disebut deret pangkat pembangkit (generating series) barisan $(a_{i})_{i \geq 0}$. Sebagai contoh, deret pangkat pembangun barisan $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ adalah
\[ 1 + x + 2x^{2} + 3x^{3} + 5x^{4} + 8x^{5} + 13x^{6} + 21x^{7} + \cdots \]
Contoh lain, barisan yang memiliki deret pangkat pembangkit
\[ 1 – \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x^{2} – \frac{1}{8}x^{3} + \frac{1}{16}x^{4} – \cdots \]
adalah
\[ 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, – \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots .\]
Barisan tak hingga $(a_{n})_{n \geq 0}$ dengan suku-suku $1, -3, 4, -6, 9, \ldots, -24, 41, \ldots$ tidak mungkin ditentukan $-24$ suku ke berapa, meskipun dapat disimpulkan suku ganjil. Dengan ekpsresi polinomial
\[ 1 – 3x + 4x^{2} – 6x^{3} + 9x^{4} + \cdots – 24x^{15} + 41x^{16} – \cdots \]
diketahui $-24$ merupakan suku ke $15$, yaitu $a_{15} = -24$. Untuk mempermudah bisa ditulis
\[ 1_{0}, -3_{1}, 4_{2}, -6_{3}, 9_{4}, \ldots, -24_{15}, 41_{16}, \ldots \]
Berbeda dengan barisan
\[ 1, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2\sqrt{2}}, \ldots , -\frac{1}{2^{20}\sqrt{2}}, \frac{1}{2^{21}}, \ldots \]
bilangan $-\frac{1}{2^{20}\sqrt{2}}$ merupakan suku ke-41.
Selanjutnya akan dibahas definisi dari fungsi pembangkit. Diberikan barisan $(a_{n})_{n \geq 0}$ dengan deret pembangkit
\[ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{n}x^{n} + \cdots. \]
Jika deret pembangkit konvergen ke fungsi $f(x)$, maka $f(x)$ disebut {\bf fungsi pembangkit} $(a_{n})_{n \geq 0}$.
Sebagai contoh, dapat diperhatikan kembali Deret Maclaurin pada kalkulus. Perhatikan bahwa barisan $(a_{n})_{n \geq 0} \doteq 1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \ldots, \frac{1}{n!}, \ldots$ memiliki deret pembangkit
\[ 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots \]
yang konvergen ke $e^{x}$. Dikatakan $e^{x}$ fungsi pembangkit barisan $(a_{n})_{n \geq 0}$
Contoh selanjutnya adalah barisan $(b_{n})_{n \geq 0} \doteq 1, -1, 1, -1, \ldots, (-1)^{n}, \ldots $ memiliki deret pembangkit
\[ 1 – x + x^{2} – x^{3} + x^{4} + \cdots + (-1)^{n}x^{n} + \cdots \]
yang konvergen ke $\frac{1}{x + 1}$. Fungsi $\frac{1}{x + 1}$ fungsi pembangkit $(b_{n})_{n \geq 0}.$
Komentar