LAPANGAN GALOIS

Download Tayangan

Lapangan Galois adalah lapangan dalam matematika abstrak yang dinamai dari matematikawan Prancis, Évariste Galois. Lapangan Galois sangat penting dalam teori bilangan, aljabar abstrak, dan fisika matematika. Selanjutnya, akan dibahas definisi, sifat, dan contoh lapangan Galois.

Lapangan Galois adalah lapangan ekstensi K dari lapangan F yang memenuhi dua syarat berikut:

  • K adalah lapangan splitting field dari suatu polinomial f(x) \in F[x].
  • Untuk setiap isomorfisma \phi dari K ke K yang memetakan elemen F ke F, \phi mengirimkan akar-akar dari f(x) ke akar-akar dari f(x).

Sifat penting dari lapangan Galois adalah bahwa grup Galoisnya, yaitu kelompok isomorfisma dari K yang memetakan elemen F ke F, selalu beraksi transitif pada akar-akar dari f(x). Lapangan Galois memiliki banyak sifat yang menarik, termasuk:

  • Setiap ekstensi normal dari F adalah lapangan Galois.
  • Lapangan Galois adalah lapangan normal, yaitu setiap ekstensi yang memuat akar-akar dari suatu polinomial f(x) juga memuat akar-akar lainnya dari f(x).
  • Setiap subkelompok dari grup Galois dapat diidentifikasi dengan ekstensi sublapangan dari K/F.
  • Lapangan Galois selalu terkandung dalam lapangan pembangkit Galois, yaitu lapangan ekstensi terkecil dari F yang memuat akar-akar dari suatu polinomial f(x).

Contoh lapangan Galois yang paling sederhana adalah K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}), lapangan ekstensi dari \mathbb{Q} yang memuat akar-akar dari polinomial f(x) = x^2 - 2. Grup Galoisnya adalah kelompok isomorfisma dari K ke K yang memetakan \mathbb{Q} ke \mathbb{Q}, yang diberikan oleh identitas atau konjugasi kompleks. Grup Galois ini berukuran 2 dan beraksi transitif pada akar-akar dari f(x).

Contoh lain dari lapangan Galois adalah lapangan K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), lapangan ekstensi dari \mathbb{Q} yang memuat akar-akar dari polinomial f(x) = x^3 - 2. Grup Galoisnya adalah kelompok isomorfisma dari K ke K.

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Lapangan Galois