RING DAN LAPANGAN

Download Tayangan

Teori ring merupakan salah satu cabang penting dalam matematika abstrak yang mempelajari struktur aljabar yang kompleks. Konsep ring merupakan generalisasi dari struktur aljabar dasar seperti kelompok grup dan lapangan. Secara formal, ring adalah himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian, yang memenuhi sejumlah aksioma. Aksioma-aksioma beberapa diantaranya adalah sifat ketertutupan, asosiatif, komutatif, distributif, dan adanya unsur identitas.

Lapangan Hingga adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari sifat-sifat aljabar dari lapangan dengan jumlah elemen terbatas. Lapangan Hingga adalah bidang studi yang penting dalam kriptografi modern, dan juga memiliki aplikasi dalam teori kode dan desain eksperimen.

Lapangan Hingga memiliki banyak sifat yang berbeda dengan lapangan bilangan real atau kompleks. Sebagai contoh, dalam lapangan hingga, tidak selalu ada bilangan yang memiliki invers perkalian, dan persamaan x^n = a tidak selalu memiliki solusi. Selanjutnya, akan dibahas sifat-sifat dasar dari lapangan hingga, termasuk definisi dan contoh.

Lapangan Hingga adalah lapangan yang terdiri dari sejumlah elemen terbatas. Lapangan Hingga dapat dinyatakan dalam bentuk GF(p), dengan p adalah bilangan prima, dan GF adalah singkatan dari Galois Field. Sebagai contoh, GF(2) adalah lapangan yang terdiri dari 2 elemen, yaitu 0 dan 1.

Sifat-sifat dasar dari lapangan hingga adalah:

  • Setiap elemen lapangan hingga adalah hasil dari penjumlahan dan pengurangan beberapa elemen yang terbatas dalam lapangan.
  • Setiap elemen lapangan hingga selain 0 memiliki invers perkalian.

Contoh lapangan hingga yang paling sederhana adalah GF(2), yang terdiri dari 2 elemen 0 dan 1. Dalam GF(2), penjumlahan dan pengurangan dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam bilangan biner. Misalnya, 1 + 1 = 0, dan 1 - 1 = 0.

Contoh lain dari lapangan hingga adalah GF(3), yang terdiri dari 3 elemen 0, 1, dan 2. Dalam GF(3), penjumlahan dan pengurangan dilakukan seperti dalam bilangan bulat modulo 3. Misalnya, 1 + 2 = 0, dan 2 - 1 = 1.

Lapangan Hingga dengan jumlah elemen yang lebih besar, seperti GF(5) atau GF(7), juga sering digunakan dalam kriptografi dan teori kode.

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Lapangan Hingga