LATIS

Download Tayangan

Pengertian latis termotivasi dari sifat-sifat poset. Poset (A;\leq ) disebut latis (terurut) / ordered lattice jika \inf\{x,y\} dan \sup\{x,y\} ada untuk setiap x,y \in A. Dengan mudah dapat diverifikasi bahwa suatu chain merupakan lattice (terurut).

Setiap latis dengan berhingga elemen mempunyai elemen terbesar dan juga mempunyai elemen terkecil. Untuk sebarang latis (terurut) (A; \leq) dan x, y \in A, tiga pernyataan berikut ekuivalen:

  • x \leq y;
  • \sup\{x, y\} = y;
  • \inf \{x, y\} = x.

Catatan: Elemen terkecil dan terbesar suatu latis (jika ada), berturut turut dinotasikan dengan 0 dan 1.

Selanjutnya diberikan terminologi lain dari latis. Latis (aljabar) adalah himpunan L\neq \emptyset yang
dilengkapi dengan dua operasi biner \wedge (meet) dan \vee (join) dengan sifat:

  • Komutatif : (\forall x,y \in L) [x\wedge y = y \wedge x \text{ dan }x\vee y = y \vee x].
  • Assosiatif : (\forall x,y,z \in L)[(x \wedge y)\wedge z = x \wedge (y\wedge z) \text{ dan } (x\vee y) \vee z = x \vee (y \vee z)].
  • Absorpsi : (\forall x,y \in L) [x\vee (x\wedge y)=x \text{ dan } x\wedge(x\vee y) = x].
  • Idempoten : (\forall x\in L) [x\wedge x =x \text{ dan } x\vee x=x].

Sebagai contoh latis (aljabar), untuk sebarang himpunan A\neq \emptyset, himpunan P(A) dengan dua operasi \cap dan \cup merupakan latis (aljabar). Contoh lainnya, himpunan semua bilangan asli dengan dua operasi \wedge dan \vee dengan definisi berturut-turut x\wedge y := \gcd\{x,y\} dan x\vee y :=\text{lcm}\{x,y\} merupakan latis (aljabar).

Selanjutnya diberikan hubungan antara latis (terurut) dengan latis (aljabar). Misalkan (L; \leq) merupakan latis (terurut). Jika didefinisikan dua operasi biner \wedge dan \vee pada L dengan

    \[x\wedge y := \inf\{x,y\}\]

dan

    \[x\vee y:= \sup\{x,y\}\]

untuk setiap x,y\in L, maka (L; \wedge, \vee) merupakan latis (aljabar).

Terakhir, diberikan hubungan antara latis (aljabar) dengan latis (terurut). Misalkan (L; \wedge, \vee) merupakan latis (aljabar). Jika pada L didefinisikan relasi biner \leq pada L dengan

    \[x \leq y :\Leftrightarrow x \wedge y = x\]

untuk setiap x, y \in L, maka (L; \leq) merupakan latis (terurut).

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Latis