POSET

Download Tayangan

Pertama-tama akan dibahas beberapa sifat relasi biner pada himpunan. Misalkan R relasi biner pada himpunan A.

  • Refleksif : Untuk setiap a\in A, (a,a)\in R,
  • Simetris: Untuk setiap a,b\in A, jika (a,b)\in R maka (b,a)\in R,
  • Antisimetris: Untuk setiap a,b\in A, jika (a,b)\in R dan (b,a)\in R maka a=b,
  • Transitif: Untuk setiap a,b,c \in A, jika (a,b)\in R dan (b,c) \in R maka (a,c)\in R,
  • Relasi R' disebut relasi ekstensi transitif R jika R \subseteq R' dan untuk setiap (a, b), (b, c) \in R berakibat (a, c) \in R'. Jelas jika R bersifat transitif maka R'= R.

Relasi R pada himpunan A disebut relasi terurut parsial jika R memenuhi sifat refleksif, antisimetris dan transitif. Selanjutnya jika R merupakan relasi terurut parsial himpunan A, maka pasangan (A; R) disebut himpunan terurut parsial (Partially Ordered Set/Poset). Berikut ini diberikan beberapa contoh Poset:

  • ( \mathbb{Z} ; \leq), ( \mathbb{N} ; \leq), (\mathbb{R}; \leq),
  • ( \mathbb{Z} ; \geq), ( \mathbb{N} ; \geq), (\mathbb{R}; \geq),
  • (P(A); \subseteq), (P(A); \supseteq), A \neq \emptyset sebarang himpunan,
  • ( \mathbb{Z}^+; \mid ) dengan \mid merupakan relasi membagi habis atau dibagi habis,
  • (A = \{a, b, c\}; R) dengan R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)\}.

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Poset