[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]
[latexpage]
Pertama-tama akan dibahas beberapa sifat relasi biner pada himpunan. Misalkan $R$ relasi biner pada himpunan $A$.
- Refleksif : Untuk setiap $a\in A$, $(a,a)\in R,$
- Simetris: Untuk setiap $a,b\in A$, jika $(a,b)\in R$ maka $(b,a)\in R,$
- Antisimetris: Untuk setiap $a,b\in A$, jika $(a,b)\in R$ dan $(b,a)\in R$ maka $a=b,$
- Transitif: Untuk setiap $a,b,c \in A$, jika $(a,b)\in R$ dan $(b,c) \in R$ maka $(a,c)\in R,$
- Relasi $R’$ disebut relasi ekstensi transitif $R$ jika $R \subseteq R’$ dan untuk setiap $(a, b), (b, c) \in R$ berakibat $(a, c) \in R’$. Jelas jika $R$ bersifat transitif maka $R’= R.$
Relasi $R$ pada himpunan $A$ disebut relasi terurut parsial jika $R$ memenuhi sifat refleksif, antisimetris dan transitif. Selanjutnya jika $R$ merupakan relasi terurut parsial himpunan $A$, maka pasangan $(A; R)$ disebut himpunan terurut parsial (Partially Ordered Set/Poset). Berikut ini diberikan beberapa contoh Poset:
- $( \mathbb{Z} ; \leq), ( \mathbb{N} ; \leq), (\mathbb{R}; \leq),$
- $( \mathbb{Z} ; \geq), ( \mathbb{N} ; \geq), (\mathbb{R}; \geq),$
- $(P(A); \subseteq), (P(A); \supseteq), A \neq \emptyset$ sebarang himpunan,
- $ ( \mathbb{Z}^+; \mid )$ dengan $\mid$ merupakan relasi membagi habis atau dibagi habis,
- $(A = \{a, b, c\}; R)$ dengan $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)\}.$
Komentar