[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=8vXoj1SYDaU[/embedyt]
[latexpage]
Misalkan $A$ dan $B$ himpunan dengan banyak anggota berhingga. Pada materi logika matematika dan himpunan telah dikenal beberapa sifat berikut:
- Kardinalitas himpunan $A$ dengan notasi $|A|$ atau $n(A)$, didefinisikan sebagai banyaknya anggota himpunan $A$. Sebagai contoh $: A=\{1,2,3,4,5 \}, |A|=n(A)=5.$
- $A\cup B = \{n : n\in A \vee n \in B \}.$
- $A\cap B = \{n: n\in A \wedge n\in B \}.$
- $A-B= A \setminus B = \{n: n\in A \wedge n\notin B\}.$
- $A \oplus B = A\cup B \setminus A \cap B.$
Selanjutnya akan dibahas beberapa sifat lanjutan di ranah himpunan berhingga. Misalkan $A$ dan $B$ suatu himpunan berhingga, maka:
- $|A\cup B| \leq |A| +|B| $
- $|A \cap B| \leq \min(|A|,|B|)$
- $|A\oplus B| = |A| +|B| -2|A \cap B|$
- $|A-B|=|A\setminus B| \geq |A| – |B| $
Selanjutnya diberikan prinsip inklusi-eksklusi yang berasal dari sifat-sifat himpunan yang diperumum. Diberikan himpunan-himpunan $A_1, A_2, \dots A_r$ maka berlaku
- $|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_r| = \left[\sum_{i=1}^{r} |A_i| \right] – \left[\sum_{1\leq i < j \leq r} |A_i \cap Aj| \right] $
$+ \left[ \sum_{1 \leq i <j<k\leq r} |A_i \cap A_j \cap A_k|\right]+ \cdots + (-1)^{r-1} |A_1 \cap \cdots \cap A_r|.$ - Untuk $r=2$, $|A_1 \cup A_2 | = |A_1| + |A_2| – |A_1 \cap A_2|.$
Sebagai contoh soal: Find the number of integers between $1$ and $2020,$ inclusive, that are not divisible by $4,5,6$ and $9.$
Didefinisikan
\begin{align*}
A =& \{x\in \mathbb{Z} : 1 \leq x\leq 2020, 4 \mid x \},\\
B =& \{x\in \mathbb{Z} : 1 \leq x\leq 2020, 5 \mid x \},\\
C =& \{x\in \mathbb{Z} : 1 \leq x\leq 2020, 6 \mid x \},\\
D =& \{x\in \mathbb{Z} : 1 \leq x\leq 2020, 9 \mid x \}.
\end{align*}
Diperoleh
\begin{align*}
|A| = \left\lfloor\frac{2020}{4} \right\rfloor = 505 ,&\qquad |C| = \left\lfloor\frac{2020}{6} \right\rfloor = 336,\\
|B| = \left\lfloor\frac{2020}{5} \right\rfloor = 404 ,&\qquad |D| = \left\lfloor\frac{2020}{9} \right\rfloor = 224,\\
|A \cap B| = \left\lfloor\frac{2020}{20} \right\rfloor = 101,&\qquad |B \cap C| = \left\lfloor\frac{2020}{30} \right\rfloor = 67,\\
|A \cap C| = \left\lfloor\frac{2020}{12} \right\rfloor = 168 ,&\qquad |B\cap D| = \left\lfloor\frac{2020}{45} \right\rfloor = 44,\\
|A \cap D| = \left\lfloor\frac{2020}{36} \right\rfloor = 56 ,&\qquad |C\cap D| = \left\lfloor\frac{2020}{18} \right\rfloor = 112,\\
|A \cap B \cap C| = \left\lfloor\frac{2020}{60} \right\rfloor = 33 ,&\qquad |A\cap C\cap D| = \left\lfloor\frac{2020}{36} \right\rfloor = 56,\\
|A \cap B \cap D| = \left\lfloor\frac{2020}{180} \right\rfloor = 11 ,&\qquad |B \cap C\cap D| = \left\lfloor\frac{2020}{90} \right\rfloor = 22
\end{align*}
dan
\begin{align*}
|A \cap B \cap C \cap D| = \left\lfloor\frac{2020}{180} \right\rfloor = 11.
\end{align*}
Jadi banyaknya bilangan bulat $x,$ $1\leq x \leq 2020$ yang tidak habis dibagi $4,5,6$ dan $9$ adalah
\begin{align*}
|A^c \cap B^c \cap C^c \cap D^c|=& |\left(A \cup B \cup C \cup D \right)^c| \\
=& 2020 – (505+404+336+224-101-168-56\\
&\qquad \quad -67-44-112+33+11+56+22-11)\\
=& 2020-1032 \\
=&988.
\end{align*}
Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Prinsip Inklusi dan Eksklusi
Komentar