RELASI REKURENSI

Download Tayangan

Diberikan himpunan tak kosong A\subseteq \mathbb{R}. Pemetaan f : \mathbb{N}_{0} \rightarrow A disebut barisan pada A, atau barisan dengan suku-suku di A. Nilai f(n) disebut suku ke-n. Barisan ditulis dengan f

  • \{ f(0), f(1),f(2) \ldots, \} atau
  • \{ f(i) \}_{i \geq 0}

Jika f(n) = a_{n}, barisan f ditulis juga dengan \{ a_{n} \}_{n \geq 0} atau \{ a_{n} \}.

Selanjutnya akan dibahas beberapa barisan yang telah kita kenal, yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri. Barisan aritmatika adalah barisan dalam bentuk

    \begin{equation*} a, a+b, a+2b, \cdots, a+nb,\cdots \end{equation*}

dengan suku awal a dan beda b merupakan bilangan real. Barisan geometri adalah barisan dalam bentuk

    \begin{equation*} a, ar, ar^{2}, \cdots, ar^{n},\cdots \end{equation*}

dengan suku awal a dan rasio b merupakan bilangan real.

Barisan aritmatika \{a_{n}\} dengan suku awal a_{0} dan beda b memenuhi

    \begin{equation*} a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 2. Sedangkan barisan geometri \{b_{n}\} dengan suku awal b_{0} dan rasio r memenuhi

    \begin{equation*} b_{n}=rb_{n-1} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 1.

Barisan \{ a_{n} \} dinamakan barisan rekurensi linear (homogen) jika terdapat konstanta c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{k} yang memenuhi

    \[ 0 = c_{0}a_{n} + c_{1}a_{n + 1} + c_{2}a_{n + 2} + \cdots + c_{k}a_{n + k} \]

c_{k} \neq 0 dan c_{0} \neq 0, untuk setiap n \in \mathbb{Z}. Bilangan k disebut order barisan. Jika indeks n mulai dari 0 persamaan di atas berlaku untuk n \geq 0.

Sebagai contoh, diberikan barisan \{ 1, -2, 4, -8, 16, -32, \dots \}. Terlihat bahwa suku-suku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekurensi

    \[ a_{n + 1} = -2a_{n}, \]

diperoleh

    \[ 0 = 2a_{n} + a_{n + 1} \]

dengan k = 1, c_{0} = 2 dan c_{1} = 1

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Relasi Rekurensi