TEOREMA BINOMIAL

Download Tayangan

Pertama-tama akan dibahas mengenai koefisien binomial. Diberikan bilangan bulat non-negatif n dan bilangan bulat k. Banyaknya cara memilih k objek dari n objek adalah \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) dengan

    \[\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) = \begin{cases} \frac{n!}{k!(n-k)!}&,\text{ untuk }0\leq k \leq n, \\ 0&,\text{ untuk }k \text{ yang lain.}\end{cases}\]

Selanjutnya diberikan alat yang dapat digunakan untuk membuktikan teorema binomial, yaitu Identitas Pascal.

Jika n dan k masing-masing merupakan bilangan bulat non-negatif dengan k\leq n, maka berlaku

    \[\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right).\]

Bukti (secara kombinatorial). Untuk k = 0 dan k \geq n identitas di atas dapat dibuktikan dengan mudah. Jika 0 < k < n, diperhatikan bukti berikut ini.

Misalkan X = \{x_1, x_2, \dots , x_n , x_{n+1} \}, suatu himpunan dengan (n + 1) anggota. Untuk menetukan banyaknya subhimpunan dari X yang terdiri dari k anggota, dapat ditentukan dengan meninjau dua kemungkinan berikut, yakni subhimpunan yang memuat x_{n+1} dan subhimpunan yang tidak memuat elemen x_{n+1}.

  • Banyaknya subhimpunan dari X yang terdiri dari k anggota dan tidak memuat elemen x_{n+1} adalah \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right).
  • Banyaknya subhimpunan dari X yang terdiri dari k anggota dan memuat elemen x_{n+1} adalah
    \left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right).

Jadi total banyaknya cara adalah

    \[\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right).\]

Di sisi lain, untuk menetukan banyaknya subhimpunan dari X yang terdiri dari k anggota\left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right). Jadi diperoleh

    \[\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right). \square\]

Selanjutnya diberikan teorema binomial sebagai berikut.

(Teorema Binomial) Jika n merupakan bilangan bulat non-negatif, maka untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

    \begin{align*} (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) x^{n-k} y^k \\ &= x^n + \left( \begin{matrix} n \\ 1\end{matrix} \right) x^{n-1}y + \cdots + \left( \begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix} \right) xy^{n-1} + y^n . \end{align*}

Untuk bukti dari teorema binomial dapat menggunakan induksi matematika dan Identitas Pascal.

Tutorial: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Binomial