[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]
[latexpage]
Pertama-tama akan dibahas mengenai koefisien binomial. Diberikan bilangan bulat non-negatif $n$ dan bilangan bulat $k$. Banyaknya cara memilih $k$ objek dari $n$ objek adalah $\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)$ dengan
$$\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) = \begin{cases} \frac{n!}{k!(n-k)!}&,\text{ untuk }0\leq k \leq n, \\ 0&,\text{ untuk }k \text{ yang lain.}\end{cases}$$ Selanjutnya diberikan alat yang dapat digunakan untuk membuktikan teorema binomial, yaitu Identitas Pascal.
Jika $n$ dan $k$ masing-masing merupakan bilangan bulat non-negatif dengan $k\leq n$, maka berlaku
$$\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right).$$
Bukti (secara kombinatorial). Untuk $k = 0$ dan $k \geq n$ identitas di atas dapat dibuktikan dengan mudah. Jika $0 < k < n$, diperhatikan bukti berikut ini.
Misalkan $X = \{x_1, x_2, \dots , x_n , x_{n+1} \}$, suatu himpunan dengan $(n + 1)$ anggota. Untuk menetukan banyaknya subhimpunan dari $X$ yang terdiri dari $k$ anggota, dapat ditentukan dengan meninjau dua kemungkinan berikut, yakni subhimpunan yang memuat $x_{n+1}$ dan subhimpunan yang tidak memuat elemen $x_{n+1}.$
- Banyaknya subhimpunan dari $X$ yang terdiri dari k anggota dan tidak memuat elemen $x_{n+1}$ adalah $\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right).$
- Banyaknya subhimpunan dari $X$ yang terdiri dari $k$ anggota dan memuat elemen $x_{n+1}$ adalah
$\left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right).$
Jadi total banyaknya cara adalah $$\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right).$$
Di sisi lain, untuk menetukan banyaknya subhimpunan dari $X$ yang terdiri dari $k$ anggota$\left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right).$ Jadi diperoleh
$$\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right). \square$$
Selanjutnya diberikan teorema binomial sebagai berikut.
(Teorema Binomial) Jika $n$ merupakan bilangan bulat non-negatif, maka untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$ berlaku
\begin{align*}
(x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) x^{n-k} y^k \\
&= x^n + \left( \begin{matrix} n \\ 1\end{matrix} \right) x^{n-1}y + \cdots + \left( \begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix} \right) xy^{n-1} + y^n .
\end{align*}
Untuk bukti dari teorema binomial dapat menggunakan induksi matematika dan Identitas Pascal.
Komentar