Tutorial Induksi Matematika

Latihan soal Induksi Matematika

Soal 1:

Buktikan melalui induksi matematika, untuk setiap bilangan bulat n\geq 1 berlaku \left(n!\leq n^{n}\right).

Klik untuk melihat solusi

Soal 2:

Diberikan x \in \mathbb{R}, dengan x>1 dan x\neq 0. Dengan induksi matematika, buktikkan bahwa untuk setiap n\in\mathbb{N}, n\geq 2, berlaku

    \[(1+x)^n > 1+ nx.\]

Klik untuk melihat solusi

Soal 3:

Buktikan dengan induksi bahwa untuk setiap n \in \mathbb{Z^{+}}, 3\mid 5^{n}+ 2\times 11^{n}.

Klik untuk melihat solusi

Soal 4:

Diberikan barisan (1,2,3,5,8, \ldots ) dikatakan barisan Fibonnachi di mana barisan bilangan yang dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya, yang memenuhi (a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},a_{1}=1,a_{2}=2) untuk n\geq 2. Buktikkan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap n\geq 1, berlaku

    \[a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}. \]

Klik untuk melihat solusi

Soal 5:

Diberikan f(x) adalah sebuah polinomial berderajat n. Buktikkan melalui induksi, bahwa untuk setiap \alpha\in\mathbb{R}, terdapat polinomial p yang berlaku p(x)=f(x+\alpha) juga berderajat n.

Klik untuk melihat solusi

Soal 6:

Formulasikan dan buktikan dengan induksi rumus umum dari bentuk berikut

    \begin{align*} 1^3 &= 1 \\ 2^3 &= 3 + 5 \\ 3^3 &= 7 + 9 + 11 \\ 4^3 &= 13 + 15 + 17 + 19 \end{align*}

Klik untuk melihat solusi

Soal 7:

Buktikan 4 \times 2^n | a^{2^n}-1, untuk setiap a bilangan ganjil dan n \in \mathbb{N}.

Klik untuk melihat solusi