[latexpage]
Latihan soal Induksi Matematika
Soal 1:
Buktikan melalui induksi matematika, untuk setiap bilangan bulat $n\geq 1$ berlaku $\left(n!\leq n^{n}\right)$.
Soal 2:
Diberikan $x \in \mathbb{R},$ dengan $x>1$ dan $x\neq 0$. Dengan induksi matematika, buktikkan bahwa untuk setiap $ n\in\mathbb{N}, n\geq 2$, berlaku
$$(1+x)^n > 1+ nx.$$
Soal 3:
Buktikan dengan induksi bahwa untuk setiap $n \in \mathbb{Z^{+}},$ $ 3\mid 5^{n}+ 2\times 11^{n}.$
Soal 4:
Diberikan barisan $(1,2,3,5,8, \ldots )$ dikatakan barisan Fibonnachi di mana barisan bilangan yang dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya, yang memenuhi $(a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},a_{1}=1,a_{2}=2)$ untuk $n\geq 2$. Buktikkan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap $n\geq 1$, berlaku \[a_{n}<\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^{n}. \]
Soal 5:
Diberikan $f(x)$ adalah sebuah polinomial berderajat $n$. Buktikkan melalui induksi, bahwa untuk setiap $\alpha\in\mathbb{R}$, terdapat polinomial $p$ yang berlaku $p(x)=f(x+\alpha)$ juga berderajat $n$.
Soal 6:
Formulasikan dan buktikan dengan induksi rumus umum dari bentuk berikut
\begin{align*}
1^3 &= 1 \\
2^3 &= 3 + 5 \\
3^3 &= 7 + 9 + 11 \\
4^3 &= 13 + 15 + 17 + 19
\end{align*}
Soal 7:
Buktikan $4 \times 2^n | a^{2^n}-1$, untuk setiap a bilangan ganjil dan $n \in \mathbb{N}$.
Komentar